一种微机电谐振器的模糊自适应反推控制方法

1.本发明涉及微机电谐振器控制技术领域，具体涉及一种微机电谐振器的模糊自适应反推控制方法。


背景技术：

2.微机电(mems)谐振器是一种多尺度、高度集成的机电耦合系统，在机器人、陀螺仪、探针显微镜、传感器以及医疗监测等领域具有广泛的应用前景。非线性运动行为，特别是混沌振荡，严重损害了机电耦合系统的安全性、稳定性和可靠性。因此，研究mems谐振器的非线性运动行为(尤其是混沌振荡)，并提出可行的控制策略来抑制混沌振荡，非常具有挑战性。研究和设计一种可靠的控制器来抑制系统的混沌振荡的前提是建立其精确的模型，而参数识别技术是将理论与实验数据相结合以实现系统精确建模的有效工具。目前研究主要集中在整数阶mems谐振器模型的参数辨识与动力学行为分析方面，不能完全反映系统的运行过程整数阶系统。
3.由于分数阶微分方程能全面准确描述研究对象动态行为特征而备受研究人员的关注。现有技术中，为了充分了解分数阶超混沌系统的动态行为特征，he等人利用李雅普诺夫指数、分岔图和多尺度复杂性研究了系统参数和导数阶数变化时的动态行为。通过分岔图、动力学分布图和相图研究了一个新的分数阶动力系统在系统参数固定且初始值变化时的非线性动力学行为。然而，上述所做的研究仅限于分数阶系统的动态行为分析，不涉及其混沌振荡抑制问题。为了抑制一类变阶分数阶微分系统中的混沌振荡，姜等人设计了一种基于全局滑动控制的新型变阶分数阶控制器，实现了变阶和常阶分数阶系统的混沌振荡抑制和轨迹跟踪控制。为了在有限的时间内实现跟踪理想电流并抑制有源滤波器的谐波失真，fang等人提出了一种自适应模糊神经分数阶电流控制。wei等人设计了一种分数阶反推控制器来实现一类分数阶混沌系统的稳定性控制。luo等人提出了一种自适应反推最优控制策略，用于抑制分数阶磁场机电换能器系统中由混沌和死区引起的振荡。然而，分数阶mems谐振器的等效模拟电路和实验分析并没有涉及。总之，目前工作未涉及不精确目标轨迹、最优控制和扰动补偿等方面的研究。


技术实现要素：

4.本发明的目的在于克服上述缺点而提出了一种能在分数阶mems谐振器受到扰动且目标轨迹不精确的情况下具有扰动补偿机制的微机电谐振器的模糊自适应反推控制方法。
5.本发明的一种微机电谐振器的模糊自适应反推控制方法，其中：该方法包括如下步骤：
6.步骤1：分数阶微机电谐振器建模：
7.微机电谐振器包括可移动微束、交流驱动电压、直流偏置电压、驱动电极、感测电极，其中所述交流驱动电压和直流偏置电压用作驱动源，为微机电谐振器提供驱动力，驱动
力f
act
可以被表述为：
[0008][0009]
其中，c0是静止时的结构电容，v
ac
和ω表示交流振幅和频率，v
dc
是直流驱动电压，d是初始间隙宽度，x是可移动微束在中点的位移；
[0010]
微机电谐振器的运动方程如下所示：
[0011]meff
x
″
+μx
′
+lx+βx3＝f
act
ꢀꢀꢀꢀ
(2)
[0012]
其中x
′
和x
″
是位移x的一阶和二阶导数，m
eff
是谐振器有效集总质量，μ表示阻尼系数，l是线性刚度系数，β是立方刚度系数；
[0013]
设a＝2γv
ac
/v
dc
，κ1＝l-4γ，κ3＝β-8γ，x＝x1和x
′
＝x2，根据泰勒级数展开，带有外部系统引起的匹配扰动和控制输入u的分数阶微机电谐振器的数学模型可以写为：
[0014][0015]
其中和是x1和x1的分数阶导数，匹配扰动ψi，i＝1，2是通过如下所示的外部系统产生的：
[0016][0017]
其中和ψi，i＝1，2表示外部系统的状态参数，ρi和是已知的外生系统参数；
[0018]
步骤2：具有扰动补偿机制的不精确目标轨迹模糊自适应最优反推控制器设计过程：
[0019]
步骤2.1：区间3型模糊逻辑系统it3fls：
[0020]
为了逼近分数阶微机电谐振器中的未知函数，构造具有自适应律的区间3型模糊逻辑系统it3fls，所述区间3型模糊逻辑系统it3fls的输出获取的运行机制如下：
[0021]
在输入层，it3fls的输入变量为xi，i＝1，2，...，n
；
[0022]
在模糊层，考虑到隶属函数aji是xi的j阶模糊集，隶属函数aji的上/下隶属度和可以被计算为
[0023][0024][0025][0026][0027]
其中k＝1，2，...，k为水平切割的数量，和是隶属度函数aji的中心，和是隶属度函数aji的上/下宽度；
[0028]
在规规层中，j阶模糊集规则为：
[0029]
若x1属于aj1，x2属于aj2以及...xn属于ajn，那么
[0030]
其中，m是模糊集规则的总数，和φj是j阶模糊集规则的结果参数；规则的激发程度如下所示
[0031][0032][0033][0034][0035]
所述it3fls的去模糊层的输出计算如下：
[0036][0037]
为便于后续表达，将公式(13)简化为
[0038]
f(x|φ)＝φ
t
ζ
ꢀꢀꢀꢀ
(14)
[0039]
其中，是自适应率，
[0040]
表示权重，
[0041]
和
[0042]
是权重的子向量；
[0043]
步骤2.2：利用it3fls近似未知函数：
[0044]
利用近似重构参考轨迹中的未知非周期函数，并近似分数阶微机电谐振器中的未知非线性函数；
[0045]
对于未知非周期函数h
1n
(t)和未知非线性函数f2(t)的模糊逼近，相应的it3fls输出分别设计如下：
[0046][0047][0048]
其中和分别表示it3fls逼近未知非周期函数h
1n
(t)的最优逼近向量，权重向量和近似误差；和ε2(t)分别是it3fls逼近未知非线性函数f2(t)的最优逼近向量、权值向量和逼近误差；近似误差εn(t)和ε2(t)满足条件和其中和是给定的任意小的正常数；
[0049]
令：
[0050]
和
[0051]
其中和是估计误差；自适应定律设计为
[0052][0053][0054]
其中γn，κn，γ2和v2都是正常数；表示满足的任意光滑有界函数，其中η
nd
是正设计常数，e2(t)是跟踪误差变量；
[0055]
步骤2.3：重建目标轨迹
[0056]
采用基于傅立叶级数和it3fls的目标轨迹重构方法，进行不精确目标轨迹的重建过程为：
[0057]
将不精确的目标轨迹x
1d
(t)定义为
[0058][0059]
其中表示的估计值x
1d
(t)，h
1d
(t)是x
1d
(t)和之间的估计误差；为了提高跟踪精度，使用傅立叶级数和it3fls进行近似h
1d
(t)；h
1d
(t)是一个未知函数，可以写成h
1t
(t)+h
1n
(t)，其中h
1t
(t)表示具有基本周期的未知连续周期函数t，h
1n
(t)是未知非周期函数；
[0060]
根据狄利克雷边界条件，h
1t
(t)的傅立叶级数展开式写成
[0061][0062]
其中m0，m
l
和n
l
是未知常数，l是采样点；
[0063]
引入了一个已知的常数t0对振幅t进行近似，近似误差为δt，根据t＝t0+δt有：
[0064][0065]
其中表示未知且有界的常数；
[0066]
将公式(21)代入公式(20)得到
[0067][0068]
其中，
[0069]sl
＝m
l
cos(2πltμ)+n
l
sin(2πltμ)，q
l
＝n
l
cos(2πltμ)-m
l
sin(2πltμ)
[0070]
将公式(22)简化为
[0071][0072]
其中，
[0073]mm
(t)＝[m0，s1，
…
，se，q1，...，qe]
t
∈r
2e+1
是维度为2e+1的未知向量函数，
[0074]
是可计算的向量函数，e是正设计常数，
[0075]
是截断误差；
[0076]h1d
(t)被简化为
[0077][0078]
其中表示h
1d
(t)的估计值，是估计误差；
[0079]
将公式(24)代入公式(19)得到
[0080][0081]
其中是重建的目标轨迹；
[0082]
步骤2.4：基于分数阶双曲正切跟踪微分器的模糊自适应最优反推控制器设计
[0083]
步骤2.4.1：将可计算的跟踪误差变量e1(t)定义为其中是重建目标轨迹；e1(t)的分数阶导数可以写成
[0084][0085]
为了减少谐波扰动ψ1对控制器控制效果造成的损害，构造了分数阶扰动观测器
[0086][0087]
其中是中间变量，和是和v1的估计值，κ
f1
是分数阶扰动观测增益，和ρ1是设计常数；分数阶扰动观测器的估计误差定义为e
do1
的分数导数可以计算为
[0088][0089]
根据可计算的跟踪误差变量e1(t)和分数阶扰动观测器的估计误差e
do1
，第一个李雅普诺夫候选函数可以被设计为
[0090][0091]
根据分数阶导数求导法则，v1(t)的分数导数被计算为
[0092][0093]
虚拟控制输入α1(t)被设计为
[0094][0095]
其中k1＞0是正设计常数；
[0096]
将跟踪误差变量e2(t)定义为x2(t)-α1(t)，将公式(28)和公式(31)代入公式(30)得到
[0097][0098]
步骤2.4.2：e2(t)的分数阶导数被计算为
[0099][0100]
其中，
[0101]
是未知的时变函数；
[0102]
为了补偿扰动ψ2，建立了如下所示的分数阶扰动观测器
[0103][0104]
其中是中间变量，k
f2
是观测器增益，和ρ2是设计常数，和ψ2是和ψ2的估计值；定义存在
[0105][0106]
根据可计算的跟踪误差变量e2(t)和分数阶扰动观测器的估计误差e
do2
，第二个李雅普诺夫候选函数构造为
[0107][0108]
其中γ2是正设计常数；
[0109]v2
(t)的分数导数被计算为
[0110][0111]
将公式(32)和公式(33)代入公式(37)得到
[0112][0113]
为近似α1(t)分数阶导数，设计了如下所示的分数阶双曲正切跟踪微分器
[0114][0115]
其中h1和h2是分数阶双曲正切跟踪微分器的状态参数，参数ηs和ηe是正设计参数；
[0116]
根据公式(38)和公式(39)，将控制输入u设计为
[0117][0118]
其中k2是正常数，h2是分数阶双曲正切跟踪微分器的输出，uo表示用于补偿跟踪误差的最优控制输入；
[0119]
将公式(40)代入公式(38)得到
[0120][0121]
最优控制的最小化的性能成本函数可以写成
[0122][0123]
其中δ2和表示正的设计参数；对于it3fls的任意小的近似误差存在
[0124]
o(
e2
)的黎卡提代数方程写成
[0125][0126]
公式(43)的解析解计算为
[0127][0128]
最优控制输入设计为
[0129][0130]
将公式(45)代入公式(41)得到
[0131][0132]
其中其中
[0133]
步骤3：稳定性分析
[0134]
利用李雅普诺夫稳定性理论证明基于分数阶双曲正切跟踪微分器的模糊自适应最优反推控制器在不精确目标轨迹下的稳定性，其证明过程如下：
[0135]
将全局李雅普诺夫函数构造为
[0136][0137]
公式(47)的分数阶导数被计算为
[0138][0139]
公式(48)的拉普拉斯变换被计算为
[0140][0141]
其中v(s)是v(t)的拉普拉斯变换；
[0142]
公式(49)被重新写为
[0143]
|v(t)|≤|v(0)|e
α，1
(-ct
α
)+b2t
αeα，α+1
(-ct
α
)
ꢀꢀꢀꢀ
(50)
[0144]
对于t＞0，存在使以下不等式成立的
[0145][0146]
根据公式(51)可以得到
[0147][0148]
对于任意小的正常数η，下列不等式成立
[0149]
|v(0)|e
α，1
(-ct
α
)＜η
ꢀꢀꢀꢀ
(53)
[0150]
公式(53)中的e
α，1
(-ct
α
)可以被计算为
[0151][0152]
对于任意小的正常数η，根据公式(50)和公式(54)，可知
[0153]
b2t
αeα，α+1
(-ct
α
)≤b2/[cγ(1)]+η
ꢀꢀꢀꢀ
(55)
[0154]
通过选择适当的参数，可以使得下面不等式成立
[0155]
b2/(cγ(1))≤η
ꢀꢀꢀꢀ
(56)
[0156]
将公式(53)，公式(55)和公式(56)代入公式(50)，可以得到
[0157]
|v(t)|≤3η
ꢀꢀꢀꢀ
(57)
[0158]
综上可知，分数阶微机电谐振器的所有信号最终都是一致的，混沌振荡被抑制。
[0159]
本发明与现有技术的相比，具有明显的有益效果，由以上方案可知：
[0160]
(1)本发明建立了mems谐振器的分数阶模型和分数阶电路微分方程，以准确地描述mems谐振器的动态行为。随后基于分数阶模型和分数阶电路微分方程，构建了数值模拟和分数阶模拟电路图，揭示了混沌振荡与阶次α和参数vac之间的关系。
[0161]
(2)本发明引入傅立叶级数和it3fls来重构不精确的目标轨迹，并利用it3fls的万能逼近性质来解决未知非线性函数问题。
[0162]
(3)本发明提出了一种基于分数阶扰动观测器的扰动补偿机制来估计建模扰动，建立了分数阶双曲正切跟踪微分器来代替虚拟控制输入及其导数，以应对传统反推带来的“复杂性爆炸”，并设计了最优控制输入来提高跟踪精度和最小化成本函数。
[0163]
总之，本发明能在分数阶mems谐振器受到扰动且目标轨迹不精确的情况下，实现具有扰动补偿机制的模糊自适应最优反推控制。
[0164]
以下通过具体实施方式，进一步说明本发明的有益效果。
附图说明
[0165]
图1为本发明的控制方案流程图；
[0166]
图2为本发明的区间3型模糊逻辑系统it3fls的流程图；
[0167]
图3为本发明实施例中的不同参数α和v
ac
下的跟踪误差性能曲线；
[0168]
图4为本发明实施例中的不同参数α和v
ac
下的控制输入和最优控制输入性能曲线；
[0169]
图5为本发明实施例中的不同参数α和v
ac
下的未知向量函数mm和φn估计值；
[0170]
图6为本发明实施例中的不同参数α和v
ac
下分数阶双曲正切跟踪微分器的性能曲线。
具体实施方式
[0171]
以下结合附图及较佳实施例，对依据本发明提出的一种微机电谐振器的模糊自适应反推控制方法的具体实施方式、特征及其功效，详细说明如后。
[0172]
本发明的一种微机电谐振器的模糊自适应反推控制方法，其中：该方法包括如下步骤：
[0173]
针对不精确目标轨迹下的受扰分数阶mems谐振器的控制问题，提出了具有扰动补偿机制的不精确目标轨迹模糊自适应最优反推控制器设计方法。控制器设计的主要流程为：首先，为了减少匹配扰动对控制效果的损害，提出了一种基于分数阶扰动观测的扰动补偿机制。其次，为了逼近分数阶mems谐振器中的未知函数，构造了具有自适应律的区间3型模糊逻辑系统(it3fls)。然后，引入傅立叶级数和it3fls来重建不精确的目标轨迹，并引入分数阶双曲正切跟踪微分器来处理与传统反推控制相关的“复杂性爆炸”。最后，将最优控制输入嵌入到反推控制器的技术框架内，提高控制器的追踪精度并确保成本函数最小化。所设计控制器的控制流程如图1所示，具体实现步骤为：
[0174]
步骤1：分数阶mems谐振器建模
[0175]
由可移动微束、交流驱动电压、直流偏置电压、驱动电极和感测电极组成，其中交流驱动电压和直流偏置电压用作驱动源，为mems谐振器提供驱动力。驱动力f
act
可以被表述为：
[0176][0177]
其中，c0是静止时的结构电容，v
ac
和ω表示交流振幅和频率，v
dc
是直流驱动电压，d是初始间隙宽度，x是可移动微束在中点的位移；
[0178]
微机电谐振器的运动方程如下所示：
[0179]meff
x
″
+μx
′
+lx+βx3＝f
act
ꢀꢀꢀꢀ
(2)
[0180]
其中x’和x”是位移x的一阶和二阶导数，m
eff
是谐振器有效集总质量，μ表示阻尼系数，l是线性刚度系数，β是立方刚度系数；
[0181]
设a＝2γv
ac
/v
dc
，κ1＝l-4γ，k3＝β-8γ，x＝x1和x
′
＝x2，根据泰勒级数展开，带有外部系统引起的匹配扰动和控制输入u的分数阶微机电谐振器的数学模型可以写为：
[0182][0183]
其中，和是x1和x2的分数阶导数，匹配扰动ψi，i＝1，2是通过如下所示的外部系统产生的：
[0184][0185]
其中和ψi，i＝1，2表示外部系统的状态参数，ρi和是已知的外生系统参数。
[0186]
步骤2：具有扰动补偿机制的不精确目标轨迹模糊自适应最优反推控制器设计过程
[0187]
与具有明确隶属度的1型模糊逻辑系统、具有1型模糊集隶属度的2型模糊逻辑系统和2型序列模糊神经网络相比，it3fls通过添加模糊集提高了具有更复杂非线性和不确定性的未知非线性系统的逼近能力。鉴于此，本发明引入it3fls来逼近未知函数。it3fls的流程图如图2所示。所提出的模糊系统的输出获取的运行机制总结如下：
[0188]
在输入层，it3fls的输入变量为xi，i＝1，2，...，n；
[0189]
在模糊层，考虑到隶属函数是xi的j阶模糊集，隶属函数的上/下隶属度和可以被计算为
[0190][0191][0192][0193]
[0194]
其中k＝1，2，...，k为水平切割的数量，和是隶属度函数aji的中心，和是隶属度函数aji的上/下宽度；
[0195]
在规则层中，j阶模糊集规则为：
[0196]
若x1属于aj1，x2属于aj2以及...xn属于ajn，那么
[0197]
其中，m是模糊集规则的总数，和φj是j阶模糊集规则的结果参数；规则的激发程度如下所示
[0198][0199][0200][0201][0202]
所述it3fls的去模糊层的输出计算如下：
[0203][0204]
为便于后续表达，将公式(13)简化为
[0205]
f(x|φ)＝φ
t
ζ
ꢀꢀꢀꢀ
(14)
[0206]
其中是自适应率，
[0207]
表示权重，
[0208][0209]
是权重的子向量。
[0210]
在极端环境下运行的控制器由于受环境干扰和信号传输的衰减和损耗，无法获得准确的目标轨迹。此外，由于工作环境的干扰，分数阶mems谐振器中的参数是未知的且时变的。有鉴于此，利用it3fls重建参考轨迹，近似重建轨迹中的未知非周期函数，并近似分数阶mems谐振器中的未知非线性函数。
[0211]
对于未知非周期函数h
1n
(t)和未知非线性函数f2(t)的模糊逼近，相应的it3fls输出分别设计如下：
[0212][0213][0214]
其中和εn(t)分别表示it3fls逼近未知非周期函数h
1n
(t)的最优逼近向量，权重向量和近似误差；和ε2(t)分别是it3fls逼近未知非线性函数f2(t)的最优逼近向量、权值向量和逼近误差；近似误差εn(t)和ε2(t)满足条件和
其中和是给定的任意小的正常数；
[0215]
令：
[0216][0217]
其中和是估计误差；自适应定律设计为
[0218][0219][0220]
其中γn，κn，γ2和υ2都是正常数；表示满足的任意光滑有界函数，其中η
nd
是正设计常数，e2(t)是跟踪误差变量。
[0221]
在远程控制领域，目标轨迹x
1d
(t)可能会受到各种干扰和传输特性的影响，导致目标轨迹不精确，因此不能直接用于控制器的设计中。鉴于此，提出了一种基于傅立叶级数和it3fls的目标轨迹重构方法。不精确目标轨迹的重建过程可以概括为：
[0222]
将不精确的目标轨迹x
1d
(t)定义为
[0223][0224]
其中表示的估计值x
1d
(t)，h
1d
(t)是x
1d
(t)和之间的估计误差；为了提高跟踪精度，使用傅立叶级数和it3fls进行近似h
1d
(t)；h
1d
(t)是一个未知函数，可以写成h
1t
(t)+h
1n
(t)，其中h
1t
(t)表示具有基本周期的未知连续周期函数t，h
1n
(t)是未知非周期函数；
[0225]
根据狄利克雷边界条件，h
1t
(t)的傅立叶级数展开式写成
[0226][0227]
其中m0，m
l
和n
l
是未知常数，l是采样点；
[0228]
引入了一个已知的常数t0对振幅t进行近似，近似误差为δt，根据t＝t0+δt有：
[0229][0230]
其中表示未知且有界的常数；
[0231]
将公式(21)代入公式(20)得到
[0232][0233]
其中，
[0234]sl
＝m
l
cos(2πltμ)+n
l
sin(2πltμ)，q
l
＝n
l
cos(2πltμ)-m
l
sin(2πltμ)
[0235]
将公式(22)简化为
[0236][0237]
其中，
[0238]mm
(t)＝[m0，s1，...，se，q1，...，qe]
t
∈r
2e+1
是维度为2e+1的未知向量函数，
[0239]
是可计算的向量函数，
e是正设计常数，
[0240]
是截断误差；
[0241]h1d
(t)被简化为
[0242][0243]
其中表示h
1d
(t)的估计值，是估计误差；
[0244]
将公式(24)代入公式(19)得到
[0245][0246]
其中是重建的目标轨迹。
[0247]
备注1：未知向量函数mm(t)，及其导数都是满足||mm(t)||≤m
l
＜∞，＜∞，和的有界光滑函数，其中m
l
，md，φ
l
和φd是正常数。
[0248]
估计误差被定义为
[0249][0250]
其中是未知向量函数mm(t)的估计值，是估计误差。
[0251]
的自适应率被设计为：
[0252][0253]
其中γm和κm是正设计常数，表示满足的任意平滑有界函数，其中η
md
为正常数。
[0254]
综上所述，可以得出和是半全局一致最终有界。详细的证明过程如下：
[0255]
证明：根据和将李雅普诺夫函数设计为
[0256][0257]vm
的分数阶积分推导如下
[0258][0259]
将公式(17)和公式(27)代入公式(28)得到
[0260][0261]
根据杨氏不等式，存在
[0262][0263]
其中λ
mmin
和λ
mmax
是γm的最小和最大特征值，λ
nmin
和λ
nmax
是γn的最小和最大特征值。
[0264]
将公式(31)代入公式(30)得到
[0265][0266]
其中其中综上，可以得出估计误差和是半全局一致最终有界的，并且和可以以极高的精度来近似mm(t)和φn(t)。
[0267]
将可计算的跟踪误差变量e1(t)定义为其中是重建目标轨迹；e1(t)的分数阶导数可以写成
[0268][0269]
为了减少谐波扰动ψ1对控制器控制效果造成的损害，构造了分数阶扰动观测器
[0270][0271]
其中是中间变量，和是和ψ1的估计值，κ
f1
是分数阶扰动观测增益，和ρ1是设计常数；分数阶扰动观测器的估计误差定义为e
do1
的分数导数可以计算为
[0272][0273]
根据可计算的跟踪误差变量e1(t)和分数阶扰动观测器的估计误差e
do1
，第一个李雅
[0274]
普诺夫候选函数可以被设计为
[0275][0276]
根据分数阶导数求导法则，v1(t)的分数导数被计算为
[0277][0278]
虚拟控制输入α1(t)被设计为
[0279][0280]
其中k1＞0是正设计常数。
[0281]
将跟踪误差变量e2(t)定义为x2(t)-α1(t)得到
[0282][0283]
e2(t)的分数阶导数被计算为
[0284][0285]
其中是未知的时变函数；
[0286]
为了补偿扰动ψ2，建立了如下所示的分数阶扰动观测器
[0287][0288]
其中是中间变量，k
f2
是观测器增益，和ρ2是设计常数，和ψ2是和ψ2的估计值；定义存在
[0289][0290]
根据可计算的跟踪误差变量e2(t)和分数阶扰动观测器的估计误差e
do2
，第二个李雅普诺夫候选函数构造为
[0291][0292]
其中γ2是正设计常数。
[0293]v2
(t)的分数导数被计算为
[0294][0295]
将公式(39)和公式(40)代入公式(44)得到
[0296][0297]
众所周知，由于α1(t)分数导数计算的复杂性，分数导数很难直接获得。更重要的是，α1(t)的多重fo求导导致了与传统的反推相关的“复杂项爆炸”。有鉴于此，采用分数阶双曲正切跟踪微分器来处理这一问题。设计了如下所示的分数阶双曲正切跟踪微分器来近似α1(t)分数阶导数
[0298][0299]
其中，h1和h2是分数阶双曲正切跟踪微分器的状态参数，参数和ηe是正设计参数；
[0300]
根据公式(45)和公式(46)，将控制输入u设计为
[0301][0302]
其中k2是正常数，h2是分数阶双曲正切跟踪微分器的输出，uo表示用于补偿跟踪误差的最优控制输入；
[0303]
将公式(47)代入公式(45)得到
[0304][0305]
最优控制的最小化的性能成本函数可以写成
[0306][0307]
其中δ2和表示正的设计参数；对于it3fls的任意小的近似误差存在
[0308]
q(e2)的黎卡提代数方程写成
[0309][0310]
公式(50)的解析解计算为
[0311][0312]
最优控制输入设计为
[0313][0314]
将公式(52)代入公式(48)得到
[0315][0316]
其中a2＝min[2k1，2λ
do1
，2(k2+k3)，2λ
do2
，2γ2υ2]和
[0317]
定理1：对于分数阶mems谐振器在的不精确目标轨迹下的最优控制问题，利用自适应律和最优控制输入将控制输入设计为公式(47)。通过选择适当的设计参数可以得出以下结论：
[0318]
1)分数阶mems谐振器中的所有信号最终都是一致有界的。
[0319]
2)完全抑制了破坏分数阶mems谐振器稳定性的混沌振荡，并使成本函数最小化。
[0320]
步骤3：稳定性分析
[0321]
利用李雅普诺夫稳定性理论证明基于分数阶双曲正切跟踪微分器的模糊自适应最优反推控制器在不精确目标轨迹下的稳定性，其证明过程如下：
[0322]
将全局李雅普诺夫函数构造为：
[0323][0324]
公式(54)的分数阶导数被计算为
[0325][0326]
公式(55)的拉普拉斯变换被计算为
[0327][0328]
其中v(s)是v(t)的拉普拉斯变换。
[0329]
公式(56)被重新写为
[0330][0331]
对于t＞0，存在使以下不等式成立的
[0332][0333]
根据公式(58)可以得到
[0334][0335]
对于任意小的正常数η，下列不等式成立
[0336]
|v(0)|e
α，1
(-ct
α
)《η
ꢀꢀꢀꢀ
(60)
[0337]
公式(60)中的e
α，1
(-ct
α
)可以被计算为
[0338][0339]
对于任意小的正常数η，根据公式(57)和公式(61)，可知
[0340]
b2t
αeα，α+1
(-ct
α
)≤b2/[cγ(1)]+η
ꢀꢀꢀꢀ
(62)
[0341]
通过选择适当的参数，可以使得下面不等式成立
[0342]
b2/(cγ(1))≤η
ꢀꢀꢀꢀ
(63)
[0343]
将公式(60)，公式(62)和公式(63)代入公式(57)，可以得到
[0344]
|v(t)|≤3η
ꢀꢀꢀꢀ
(64)
[0345]
综上可知，分数阶微机电谐振器的所有信号最终都是一致的，混沌振荡被抑制。
[0346]
性能分析：
[0347]
给出了大量的仿真结果，以验证所设计的控制方案的有效性。其中分数阶mems谐振器的初始参数选为xi＝0，i＝1，2。目标轨迹设x
1d
＝0.15cos(t)-0.28sin(2t)，估计的目标轨迹为分数阶扰动补偿观测器中的参数值设为ρ1＝0.56，ρ2＝0.64，k
f1
＝32和k
f2
＝24。傅立叶级数中的相关参数设为t0＝5和e＝4。重构参考轨迹自适应率中的参数选择为γm＝0.3，κm＝0.1，γn＝0.5和κn＝0.25。所提出的控制器的参数选择为k1＝64和k2＝35。最优控制器中的参数选择为δ2＝0.5和分数阶双曲正切跟踪微分器的调节参数选择为ηs＝3.2和ηe＝13。公式(18)中的参数被设计为γ2＝1.5和υ2＝2。it3fls的参数设置为it3fls的参数设置为it3fls的参数设置为it3fls的参数设置为it3fls的参数设置为it3fls的参数设置为
[0348]
图3是不同参数α和v
ac
下的跟踪误差的性能曲线。从图3中可以看出，跟踪误差可以控制在[-5
×
10-2
，5
×
10-2
]内，这进一步证明了所提出的控制器使分数阶mems谐振器系统具有良好的跟踪精度。不同参数α和v
ac
下的控制输入和最优控制输入的性能曲线如图4所示。图中的四个放大子图4显示了不同参数α和v
ac
下的控制输入和最优控制输入之间的细微差异。从图3和4可以看出，无论改变阶次α还是改变参数v
ac
，位置跟踪轨迹、跟踪误差、控制
输入和最优控制输入几乎不受影响。也就是说，本发明设计的控制器具有良好的鲁棒性。
[0349]
未知向量函数mm(t)和φn(t)在不同参数α和v
ac
的估计值如图5所示。从中可以知道，对于不同的参数α和v
ac
，在方案介入之后，所有的性能曲线都被困在一个稳定的状态中。为了解决与的重复微分相关的“复杂性爆炸”问题，引入了分数阶双曲正切跟踪微分器对其进行近似。分数阶双曲正切跟踪微分器的近似性能如图6所示。从中可以知道，在不同参数α和v
ac
下，分数阶双曲正切跟踪微分器的性能曲线拟合。值得指出的是，分数阶双曲正切跟踪微分器解决了“复杂性爆炸”的问题。从图6可以看出，无论改变阶次α还是改变参数v
ac
，基于分数阶扰动观测器的扰动补偿机制和分数阶双曲正切跟踪微分器的性能几乎不受影响。换句话说，控制器中的组件也具有极好的鲁棒性。
[0350]
以上所述，仅是本发明的较佳实施例而已，并非对本发明作任何形式上的限制，任何未脱离本发明技术方案内容，依据本发明的技术实质对以上实施例所作的任何简单修改、等同变化与修饰，均仍属于本发明技术方案的范围内。

技术特征：
1.一种微机电谐振器的模糊自适应反推控制方法，其特征在于：该方法包括如下步骤：步骤1：分数阶微机电谐振器建模：微机电谐振器包括可移动微束、交流驱动电压、直流偏置电压、驱动电极、感测电极，其中所述交流驱动电压和直流偏置电压用作驱动源，为微机电谐振器提供驱动力，驱动力f
act
可以被表述为：其中，c0是静止时的结构电容，v
ac
和ω表示交流振幅和频率，v
dc
是直流驱动电压，d是初始间隙宽度，x是可移动微束在中点的位移；微机电谐振器的运动方程如下所示：m
e
ffx
″
+μx
′
+lx+βx3＝f
act
ꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀ
(2)其中x’和x”是位移x的一阶和二阶导数，m
eff
是谐振器有效集总质量，μ表示阻尼系数，l是线性刚度系数，β是立方刚度系数；设a＝2γv
ac
/v
dc
，κ3＝β-8γ，x＝x1和x
′
＝x2，根据泰勒级数展开，带有外部系统引起的匹配扰动和控制输入u的分数阶微机电谐振器的数学模型可以写为：其中，其中，是x1和x2的分数阶导数，匹配扰动ψ
i
，i＝1，2是通过如下所示的外部系统产生的：其中和ψ
i
，i＝1，2表示外部系统的状态参数，ρ
i
和是已知的外生系统参数；步骤2：具有扰动补偿机制的不精确目标轨迹模糊自适应最优反推控制器设计，其设计过程为：步骤2.1：区间3型模糊逻辑系统it3fls：为了逼近分数阶微机电谐振器中的未知函数，构造具有自适应律的区间3型模糊逻辑系统it3fls，所述区间3型模糊逻辑系统it3fls的输出获取的运行机制如下:在输入层，it3fls的输入变量为x
i
,i＝1,2,
…
,n；在模糊层，考虑到隶属函数aji是x
i
的j阶模糊集，隶属函数aji的上/下隶属度隶属函数aji的上/下隶属度可以被计算为可以被计算为可以被计算为
其中k＝1,2,
…
,k为水平切割的数量，,k为水平切割的数量，是隶属度函数aji的中心，是隶属度函数aji的中心，是隶属度函数aji的上/下宽度；在规则层中，j阶模糊集规则为：若x1属于aj1，x2属于aj2以及
…
x
n
属于ajn,那么其中，m是模糊集规则的总数，和φ
j
是j阶模糊集规则的结果参数；规则的激发程度如下所示如下所示如下所示如下所示所述it3fls的去模糊层的输出计算如下：所述it3fls的去模糊层的输出计算如下：和为便于后续表达，将公式(13)简化为f(x|φ)＝φ
t
ζ
ꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀ
(14)其中是自适应率，表示权重，和是权重的子向量；步骤2.2：利用it3fls近似未知函数：利用近似重构参考轨迹中的未知非周期函数，并近似分数阶微机电谐振器中的未知非线性函数；对于未知非周期函数h
1n
(t)和未知非线性函数f2(t)的模糊逼近，相应的it3fls输出分别设计如下：其中，ζ
n
(t)和ε
n
(t)分别表示it3fls逼近未知非周期函数h
1n
(t)的最优逼近向
量，权重向量和近似误差；ζ2(t)和ε2(t)分别是it3fls逼近未知非线性函数f2(t)的最优逼近向量、权值向量和逼近误差；近似误差ε
n
(t)和ε2(t)满足条件其中和是给定的任意小的正常数；令：和其中和是估计误差；自适应定律设计为自适应定律设计为其中γ
n
，κ
n
，γ2和υ2都是正常数；表示满足的任意光滑有界函数，其中η
nd
是正设计常数，e2(t)是跟踪误差变量；步骤2.3：重建目标轨迹采用基于傅立叶级数和it3fls的目标轨迹重构方法，进行不精确目标轨迹的重建过程为：将不精确的目标轨迹x
1d
(t)定义为其中表示的估计值x
1d
(t)，h
1d
(t)是x
1d
(t)和之间的估计误差；为了提高跟踪精度，使用傅立叶级数和it3fls进行近似h
1d
(t)；h
1d
(t)是一个未知函数，可以写成h
1t
(t)+h
1n
(t)，其中h
1t
(t)表示具有基本周期的未知连续周期函数t，h
1n
(t)是未知非周期函数；根据狄利克雷边界条件，h
1t
(t)的傅立叶级数展开式写成其中m0,m
l
和n
l
是未知常数，l是采样点；引入了一个已知的常数t0对振幅t进行近似，近似误差为
△
t，根据t＝t0+
△
t有：其中表示未知且有界的常数；将公式(21)代入公式(20)得到其中，s
l
＝m
l
cos(2πltμ)+n
l
sin(2πltμ)，q
l
＝n
l
cos(2πltμ)-m
l
sin(2πltμ)将公式(22)简化为
其中，m
m
(t)＝[m0，s1，
…
，s
e
，q1，
…
，q
e
]
t
∈r
2e+1
是维度为2e+1的未知向量函数，是可计算的向量函数，e是正设计常数，是截断误差；h
1d
(t)被简化为其中表示h
1d
(t)的估计值，是估计误差；将公式(24)代入公式(19)得到其中是重建的目标轨迹；步骤2.4：基于分数阶双曲正切跟踪微分器的模糊自适应最优反推控制器设计步骤2.4.1：将可计算的跟踪误差变量e1(t)定义为其中是重建目标轨迹；e1(t)的分数阶导数可以写成为了减少谐波扰动ψ1对控制器控制效果造成的损害，构造了分数阶扰动观测器其中，是中间变量，和是和ψ1的估计值，κ
f1
是分数阶扰动观测增益，和ρ1是设计常数；分数阶扰动观测器的估计误差定义为e
do1
的分数导数可以计算为根据可计算的跟踪误差变量e1(t)和分数阶扰动观测器的估计误差e
do1
，第一个李雅普诺夫候选函数可以被设计为根据分数阶导数求导法则，v1(t)的分数导数被计算为虚拟控制输入α1(t)被设计为其中k1>0是正设计常数；
将跟踪误差变量e2(t)定义为x2(t)-α1(t)，将公式(28)和公式(31)代入公式(30)得到步骤2.4.2：e2(t)的分数阶导数被计算为其中，是未知的时变函数；为了补偿扰动ψ2，建立了如下所示的分数阶扰动观测器其中是中间变量，κ
f2
是观测器增益，和ρ2是设计常数，和ψ2是和ψ2的估计值；定义存在根据可计算的跟踪误差变量e2(t)和分数阶扰动观测器的估计误差e
do2
，第二个李雅普诺夫候选函数构造为其中γ2是正设计常数；v2(t)的分数导数被计算为将公式(32)和公式(33)代入公式(37)得到为近似α1(t)分数阶导数，设计了如下所示的分数阶双曲正切跟踪微分器其中h1和h2是分数阶双曲正切跟踪微分器的状态参数，参数η
s
和η
e
是正设计参数；根据公式(38)和公式(39)，将控制输入u设计为其中k2是正常数，h2是分数阶双曲正切跟踪微分器的输出，u
o
表示用于补偿跟踪误差的最优控制输入；将公式(40)代入公式(38)得到
最优控制的最小化的性能成本函数可以写成其中δ2和表示正的设计参数；对于it3fls的任意小的近似误差存在q(e2)的黎卡提代数方程写成公式(43)的解析解计算为最优控制输入设计为将公式(45)代入公式(41)得到其中a2＝min[2k1，2λ
do1
，2(k2+k3)，2λ
do2
，2γ2v2]和步骤3：稳定性分析利用李雅普诺夫稳定性理论证明基于分数阶双曲正切跟踪微分器的模糊自适应最优反推控制器在不精确目标轨迹下的稳定性，其证明过程如下：将全局李雅普诺夫函数构造为公式(47)的分数阶导数被计算为公式(48)的拉普拉斯变换被计算为其中v(s)是v(t)的拉普拉斯变换；公式(49)被重新写为|v(t)|≤|v(0)|e
α，1
(-ct
α
)+b2t
α
e
α，α+1
(-ct
α
)
ꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀ
(50)对于t＞0，存在使以下不等式成立的
根据公式(51)可以得到对于任意小的正常数η，下列不等式成立|v(0)|e
α，1
(-ct
α
)＜η
ꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀ
(53)公式(53)中的e
α，1
(-ct
α
)可以被计算为对于任意小的正常数η，根据公式(50)和公式(54)，可知b2t
α
e
α，α+1
(-ct
α
)≤b2/[cγ(1)]+η
ꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀ
(55)通过选择适当的参数，可以使得下面不等式成立b2/(cγ(1))≤η
ꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀ
(56)将公式(53)，公式(55)和公式(56)代入公式(50)，可以得到|v(t)|≤3η
ꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀ
(57)综上可知，分数阶微机电谐振器的所有信号最终都是一致的，混沌振荡被抑制。

技术总结
本发明的一种微机电谐振器的模糊自适应反推控制方法，步骤包括：分数阶微机电谐振器建模；具有扰动补偿机制的不精确目标轨迹模糊自适应最优反推控制器设计；稳定性分析。本发明为了减少匹配扰动对控制效果的损害，提出了一种基于分数阶扰动观测的扰动补偿机制。其次，为了逼近分数阶MEMS谐振器中的未知函数，构造了具有自适应律的区间3型模糊逻辑系统(IT3FLS)。然后，引入傅立叶级数和IT3FLS来重建不精确的目标轨迹，并引入分数阶双曲正切跟踪微分器来处理与传统反推控制相关的“复杂性爆炸”。最后，将最优控制输入嵌入到反推控制器的技术框架内，提高控制器的追踪精度并确保成本函数最小化。本函数最小化。本函数最小化。


技术研发人员：杨观赐 赵乐 罗绍华 李少波 杨静 李杨 罗可欣 王阳
受保护的技术使用者：贵州大学
技术研发日：2023.07.11
技术公布日：2023/9/14