一种在大变形情况下圆柱弹簧非线性刚度的计算方法与流程

1.本发明涉及机械弹簧计算技术领域，具体的说，是一种在大变形情况下圆柱弹簧非线性刚度的计算方法。


背景技术：

2.弹簧通常用于机械系统中，例如汽车发动机和悬架系统。弹簧的刚度、强度和稳定性对机构的安全性起着重要作用。由于圆柱形弹簧的良好性能，圆柱形弹簧在工程中被广泛应用。圆柱形弹簧的弹簧刚度是弹簧性能的重要参数之一，在工程中，人们使用以下公式计算圆柱形弹簧刚度：
[0003][0004]
其中，g为弹簧材料的剪切模量，d为弹簧丝线径，n为弹簧有效圈数，r0为初始弹簧半径，可通过调整这些参数(d，n，r0)来优化弹簧刚度。式(1)中的弹簧刚度仅包括扭转能量对弹簧丝的影响。
[0005]
timoshenko梁理论给出了受初始螺旋角影响的圆柱形弹簧的刚度公式：
[0006][0007]
式中弹簧刚度包括弯曲能和扭转能对弹簧丝的影响，d为弹簧中径，i
p
和iz分别为弹簧丝截面形心极惯性矩和惯性矩，e为弹簧材料的弹性模量。公式(2)适用于小变形时圆柱形弹簧刚度的计算，当α0＝0时，公式(2)可退化为公式(1)。为了考虑弹簧导线中剪切能的影响，mohazzabi修正了公式(1)，ancker和goodier则是推导得到了受螺旋角和曲率影响的弹簧刚度，但它们的弹簧刚度公式只适用于小变形的情况。
[0008]
研究人员经常使用solidworks，pro/e建立弹簧模型，将模型导入ansys、abaqus或其他有限元软件，并通过这些有限元程序计算弹簧的刚度和强度。对于小变形的情况，弹簧的刚度在变形过程中几乎是不变的。但弹簧的变形程度较大，属于几何非线性问题。张云设计了一种新型的可变刚度阻尼螺旋弹簧。因此，研究圆柱弹簧在大变形过程中弹簧刚度的变化具有重要意义。
[0009]
可见，目前国内外对圆柱螺旋弹簧刚度的研究虽较多，但对于圆柱螺旋弹簧的非线性特性研究甚少，虽已有文献考虑螺旋角即弹簧丝倾斜效应对弹簧刚度的影响，但是综合考虑螺旋角变化以及非线性特性的刚度解析表达式还未有研究学者给出。因此通过理论推导给出在大变形情况下的圆柱弹簧非线性刚度表达式，对机械工程中的弹簧设计和应用是具有重要意义的。


技术实现要素：

[0010]
本发明的目的在于提供一种既考虑螺旋角变化对弹簧刚度的影响，又考虑扭转变
形能和弯曲变形能对弹簧刚度的影响，从而能够准确计算出在大变形情况下圆柱弹簧非线性刚度值的计算方法。
[0011]
为实现上述目的，一方面，本发明提供了一种在大变形情况下圆柱弹簧非线性刚度的计算方法，包括以下步骤：
[0012]
步骤1、计算弹簧丝倾斜度κ，并假设弹簧丝长度l、极角β不随弹簧变形而变化；
[0013]
步骤2、根据弹簧所受荷载p与变形高度h之间的非线性关系建立刚度关系式；
[0014]
步骤3、基于步骤1中的假设和步骤2中建立的刚度关系式，求出弹簧扭矩t和弯矩m；
[0015]
步骤4、将步骤3所求得的弹簧扭矩t和弯矩m代入变形能计算公式得到弹簧的扭转变形能u
t
和弯曲变形能um；
[0016]
步骤5、计算荷载p对弹簧做的总功w；
[0017]
步骤6、将步骤4所得弹簧的扭转变形能u
t
和弯曲变形能um和步骤5所得荷载p对弹簧做的总功w代入功能互等定理求得弹簧刚度系数k1,k2,k3；
[0018]
步骤7、将步骤6所得弹簧刚度系数k1,k2,k3代入步骤2中建立的刚度关系式，得到圆柱弹簧刚度计算式k(h)。
[0019]
具体的，步骤1中所述计算弹簧丝倾斜度κ，计算公式如下：
[0020][0021]
式中，α0、κ0分别为圆柱弹簧的初始螺旋升角和初始倾斜度；l0为圆柱弹簧丝的初始总长度；r0、h0分别为圆柱弹簧的初始半径和总高度；n为圆柱弹簧的总圈数。
[0022]
进一步地，步骤1中由弹簧丝长度l、极角β不随弹簧变形而变化，可得到如下关系式：
[0023][0024]
式中，l、r、κ、α分别为圆柱弹簧变形后的弹簧丝长度、半径、倾斜度和螺旋升角；h为弹簧竖向变形产生的总高度。
[0025]
具体的，步骤2中所述弹簧所受荷载p与变形高度h之间的非线性关系为
[0026]
p＝k(h)h
[0027]
k(h)＝k1+k2h+k3h2[0028]
式中，k(h)为圆柱弹簧的非线性刚度表达式，k1，k2，k3为刚度系数。
[0029]
具体的，步骤3所述基于步骤1中的假设和步骤2中建立的刚度关系式，求出弹簧扭矩t和弯矩m，计算公式如下：
[0030][0031][0032]
式中，rp为圆柱弹簧在荷载p作用下产生的力矩。
[0033]
具体的，步骤4所述将步骤3所求得的弹簧扭矩t和弯矩m代入变形能计算公式得到弹簧的扭转变形能u
t
和弯曲变形能um，扭转变形能u
t
和弯曲变形能um的计算公式为
[0034][0035]
其中：
[0036][0037][0038][0039][0040][0041][0042]
式中，h1为弹簧在荷载p作用下的位移变形量。
[0043]
具体的，步骤5所述计算荷载p对弹簧做的总功w，
[0044]
具体的，步骤6所述将步骤4所得弹簧的扭转变形能u
t
和弯曲变形能um和步骤5所得荷载p对弹簧做的总功w代入功能互等定理求得弹簧刚度系数k1,k2,k3，具体包括：
[0045]
根据功能互等定理，有w＝u
t
+um，则弹簧刚度系数k1,k2,k3的计算公式为
[0046][0047][0048]
具体的，步骤7所述将步骤6所得弹簧刚度系数k1,k2,k3代入步骤2中建立的刚度关系式，则有
[0049]
k(h)＝η(κ0,δκ)k1,η(κ0,δκ)＝1+η2δκ+η3δκ2,δκ＝h/l0[0050]
式中，系数η2、η3的计算公式为：
[0051][0052][0053]
另一方面，本发明在得到上述圆柱弹簧刚度计算式k(h)的基础上，还通过有限元仿真分析验证所得计算公式的有效性，包括以下步骤：
[0054]
步骤8、设定圆柱弹簧的初始总长度为l0、初始高度为h0、对应的弹簧初始斜度为κ0、弹簧丝线径为d、弹性模量为e、泊松比为v、圆柱弹簧半径为r0、弹簧总圈数为n，n取正整数；
[0055]
步骤9、由timoshenko梁理论可计算得到弹簧刚度k
tim
为
[0056][0057]
式中，α0为圆柱弹簧的初始螺旋升角；d为弹簧中径，i
p
和iz分别为弹簧丝截面形心极惯性矩和惯性矩；
[0058]
步骤10、由步骤7所得圆柱弹簧刚度计算式得到弹簧刚度为
[0059]
k＝k1+k2h+k3h2[0060][0061][0062]
步骤11、将步骤8设定的弹簧材料参数输入至有限元分析软件中，建立相应的弹簧模型，利用有限元仿真对弹簧模型依次施加荷载p
fem
，同时记录弹簧模型变形位移h，得到弹簧模型的变形位移云图；
[0063]
步骤12、将步骤9、步骤10和步骤11中的计算结果进行比较，验证所得圆柱弹簧刚度计算式k(h)与有限元仿真分析结果的吻合度。
[0064]
与现有技术相比，本发明的有益效果是：
[0065]
1、本发明提出了在大变形情况下的圆柱弹簧非线性刚度的计算表达式；
[0066]
2、本发明所提供的大变形情况下的圆柱弹簧非线性刚度计算表达式为机械工程中的弹簧设计和应用提供重要参考价值。
附图说明
[0067]
图1为本发明一种在大变形情况下圆柱弹簧非线性刚度的计算方法的流程图；
[0068]
图2为本发明实施例中有限元仿真得到的不同荷载p下弹簧变形位移云图；
[0069]
图3为本发明实施例中弹簧拉工况p-h曲线图。
具体实施方式
[0070]
下面将结合本发明实施例中的附图，对本发明实施例中的技术方案进行清楚、完整地描述，显然，所描述的实施例仅仅是本发明一部分实施例，而不是全部的实施例。基于本发明中的实施例，本领域普通技术人员在没有做出创造性劳动前提下所获得的所有其他实施例，都属于本发明保护的范围。
[0071]
实施例1
[0072]
如图1所示，本实施例中提供了一种在大变形情况下圆柱弹簧非线性刚度的计算方法，包括以下步骤：
[0073]
步骤1、计算弹簧丝倾斜度κ，并假设弹簧丝长度l、极角β不随弹簧变形而变化；
[0074]
步骤2、根据弹簧所受荷载p与变形高度h之间的非线性关系建立刚度关系式；
[0075]
步骤3、基于步骤1中的假设和步骤2中建立的刚度关系式，求出弹簧扭矩t和弯矩m；
[0076]
步骤4、将步骤3所求得的弹簧扭矩t和弯矩m代入变形能计算公式得到弹簧的扭转变形能u
t
和弯曲变形能um；
[0077]
步骤5、计算荷载p对弹簧做的总功w；
[0078]
步骤6、将步骤4所得弹簧的扭转变形能u
t
和弯曲变形能um和步骤5所得荷载p对弹簧做的总功w代入功能互等定理求得弹簧刚度系数k1,k2,k3；
[0079]
步骤7、将步骤6所得弹簧刚度系数k1,k2,k3代入步骤2中建立的刚度关系式，得到圆柱弹簧刚度计算式k(h)。
[0080]
具体的，步骤1中所述计算弹簧丝倾斜度κ，计算公式如下：
[0081][0082]
式中，α0、κ0分别为圆柱弹簧的初始螺旋升角和初始倾斜度；l0为圆柱弹簧丝的初始总长度；r0、h0分别为圆柱弹簧的初始半径和总高度；n为圆柱弹簧的总圈数。
[0083]
进一步地，步骤1中由弹簧丝长度l、极角β不随弹簧变形而变化，可得到如下关系式：
[0084][0085]
式中，l、r、κ、α分别为圆柱弹簧变形后的弹簧丝长度、半径、倾斜度和螺旋升角；h为弹簧竖向变形产生的总高度。
[0086]
具体的，步骤2中所述弹簧所受荷载p与变形高度h之间的非线性关系为
[0087]
p＝k(h)h
[0088]
k(h)＝k1+k2h+k3h2[0089]
式中，k(h)为圆柱弹簧的非线性刚度表达式，k1，k2，k3为刚度系数。
[0090]
具体的，步骤3所述基于步骤1中的假设和步骤2中建立的刚度关系式，求出弹簧扭矩t和弯矩m，计算公式如下：
[0091][0092][0093]
式中，rp为圆柱弹簧在荷载p作用下产生的力矩。
[0094]
具体的，步骤4所述将步骤3所求得的弹簧扭矩t和弯矩m代入变形能计算公式得到弹簧的扭转变形能u
t
和弯曲变形能um，扭转变形能u
t
和弯曲变形能um的计算公式为
[0095][0096]
其中：
[0097][0098][0099][0100][0101][0102][0103]
式中，h1为弹簧在荷载p作用下的位移变形量。
[0104]
具体的，步骤5所述计算荷载p对弹簧做的总功w，
[0105]
具体的，步骤6所述将步骤4所得弹簧的扭转变形能u
t
和弯曲变形能um和步骤5所得荷载p对弹簧做的总功w代入功能互等定理求得弹簧刚度系数k1,k2,k3，具体包括：
[0106]
根据功能互等定理，有w＝u
t
+um，则弹簧刚度系数k1,k2,k3的计算公式为
[0107][0108][0109]
具体的，步骤7所述将步骤6所得弹簧刚度系数k1,k2,k3代入步骤2中建立的刚度关系式，则有
[0110]
k(h)＝η(κ0,δκ)k1,η(κ0,δκ)＝1+η2δκ+η3δκ2,δκ＝h/l0[0111]
式中，系数η2、η3的计算公式为：
[0112][0113][0114]
实施例2
[0115]
本实施例旨在验证实施例1中所得到圆柱弹簧刚度计算式k(h)的有效性。
[0116]
(1)本实施例中设定圆柱弹簧的初始高度h0为20mm，对应的弹簧初始斜度κ0为0.042；弹簧丝线径d＝2mm，弹性模量e＝206gpa，泊松比ν＝0.3，圆柱弹簧半径r0＝15mm，圈数n＝5；
[0117]
(2)由timoshenko梁理论可计算得到弹簧刚度k
tim
为
[0118][0119]
式中，α0为圆柱弹簧的初始螺旋升角；d为弹簧中径，i
p
和iz分别为弹簧丝截面形心极惯性矩和惯性矩；
[0120]
(3)由实施例1中所得圆柱弹簧刚度计算式得到弹簧刚度为
[0121]
k＝k1+k2h+k3h2[0122][0123][0124]
(4)将(1)中设定的弹簧材料参数输入至有限元分析软件中，建立相应的弹簧模型，利用有限元仿真对弹簧模型依次施加荷载p
fem
，同时记录弹簧模型变形位移h，得到弹簧模型的变形位移云图如图2所示；
[0125]
(5)将(2)、(3)、(4)中的计算结果进行比较，结果如下表1所示，其中，k
fem
为有限元的刚度计算结果，k为本发明的刚度计算结果。
[0126]
表1κ0＝0.042的有限元值与两种表达式的比较结果
[0127][0128]
对表1中的数据进行整理，绘制弹簧拉工况p-h曲线图如图3所示，由表1和图3可以很直观的得到，本发明提供的圆柱弹簧刚度计算式与有限元仿真分析结果高度吻合(偏差不超过4％)；而依据传统的timoshenko梁理论计算公式，随着弹簧变形量的增加，其计算结果与有限元的偏差逐渐增大，因此仅适用于弹簧小变形范围内的计算。
[0129]
综上所述，本发明通过理论推导得到圆柱弹簧在大变形情况下的非线性刚度表达式，为机械工程中的弹簧设计提供了重要参考。目前，国内外对弹簧在大变形情况下的研究较少，研究学者更多的是通过有限元研究得到弹簧在大变形情况的刚度变化，或者通过matlab等编程软件计算弹簧的变形刚度，属于较为繁琐的计算方法，所以推导出一个合理且精确度较高的非线性刚度表达式是十分有必要的。因此，本发明提供的计算圆柱弹簧在大变形情况下的非线性刚度表达式对于机械工程中的弹簧设计和应用具有重要意义。
[0130]
以上对本发明的较佳实现方法进行了具体说明，但本发明创造并不限于所述实施例，熟悉本领域的技术人员在不违背本发明精神的前提下还可作出种种的等同变型或替换，这些等同的变型或替换均包含在本技术权利要求所限定的范围内。

技术特征：
1.一种在大变形情况下圆柱弹簧非线性刚度的计算方法，其特征在于，包括以下步骤：步骤1、计算弹簧丝倾斜度κ，并假设弹簧丝长度l、极角β不随弹簧变形而变化；步骤2、根据弹簧所受荷载p与变形高度h之间的非线性关系建立刚度关系式；步骤3、基于步骤1中的假设和步骤2中建立的刚度关系式，求出弹簧扭矩t和弯矩m；步骤4、将步骤3所求得的弹簧扭矩t和弯矩m代入变形能计算公式得到弹簧的扭转变形能u
t
和弯曲变形能u
m
；步骤5、计算荷载p对弹簧做的总功w；步骤6、将步骤4所得弹簧的扭转变形能u
t
和弯曲变形能u
m
和步骤5所得荷载p对弹簧做的总功w代入功能互等定理求得弹簧刚度系数k1,k2,k3；步骤7、将步骤6所得弹簧刚度系数k1,k2,k3代入步骤2中建立的刚度关系式，得到圆柱弹簧刚度计算式k(h)。2.根据权利要求1所述的一种在大变形情况下圆柱弹簧非线性刚度的计算方法，其特征在于，还包括对步骤7所得圆柱弹簧刚度计算式k(h)的有限元仿真验证，包括以下步骤：步骤8、设定圆柱弹簧的初始总长度为l0、初始高度为h0、对应的弹簧初始斜度为κ0、弹簧丝线径为d、弹性模量为e、泊松比为v、圆柱弹簧半径为r0、弹簧总圈数为n，n取正整数；步骤9、由timoshenko梁理论可计算得到弹簧刚度k
tim
为式中，α0为圆柱弹簧的初始螺旋升角；d为弹簧中径，i
p
和i
z
分别为弹簧丝截面形心极惯性矩和惯性矩；步骤10、由步骤7所得圆柱弹簧刚度计算式得到弹簧刚度为k＝k1+k2h+k3h
22
步骤11、将步骤8设定的弹簧材料参数输入至有限元分析软件中，建立相应的弹簧模型，利用有限元仿真对弹簧模型依次施加荷载p
fem
，同时记录弹簧模型变形位移h，得到弹簧模型的变形位移云图；步骤12、将步骤9、步骤10和步骤11中的计算结果进行比较，验证所得圆柱弹簧刚度计算式k(h)与有限元仿真分析结果的吻合度。3.根据权利要求1所述的一种在大变形情况下圆柱弹簧非线性刚度的计算方法，其特征在于，步骤1中所述计算弹簧丝倾斜度κ，计算公式如下：式中，α0、κ0分别为圆柱弹簧的初始螺旋升角和初始倾斜度；l0为圆柱弹簧丝的初始总长度；r0、h0分别为圆柱弹簧的初始半径和总高度；n为圆柱弹簧的总圈数。
4.根据权利要求1所述的一种在大变形情况下圆柱弹簧非线性刚度的计算方法，其特征在于，步骤1中由假设的弹簧丝长度l、极角β不随弹簧变形而变化，可得到如下关系式：式中，l、r、κ、α分别为圆柱弹簧变形后的弹簧丝长度、半径、倾斜度和螺旋升角；h为弹簧竖向变形产生的总高度。5.根据权利要求1所述的一种在大变形情况下圆柱弹簧非线性刚度的计算方法，其特征在于，步骤2中所述弹簧所受荷载p与变形高度h之间的非线性关系为p＝k(h)hk(h)＝k1+k2h+k3h2式中，k(h)为圆柱弹簧的非线性刚度表达式，k1，k2，k3为刚度系数。6.根据权利要求1所述的一种在大变形情况下圆柱弹簧非线性刚度的计算方法，其特征在于，步骤3所述基于步骤1中的假设和步骤2中建立的刚度关系式，求出弹簧扭矩t和弯矩m，计算公式如下：计算公式如下：式中，rp为圆柱弹簧在荷载p作用下产生的力矩。7.根据权利要求1所述的一种在大变形情况下圆柱弹簧非线性刚度的计算方法，其特征在于，步骤4所述将步骤3所求得的弹簧扭矩t和弯矩m代入变形能计算公式得到弹簧的扭转变形能u
t
和弯曲变形能u
m
，扭转变形能u
t
和弯曲变形能u
m
的计算公式为其中：其中：其中：其中：其中：其中：
式中，h1为弹簧在荷载p作用下的位移变形量。8.根据权利要求1所述的一种在大变形情况下圆柱弹簧非线性刚度的计算方法，其特征在于，步骤5所述计算荷载p对弹簧做的总功w，9.根据权利要求1所述的一种在大变形情况下圆柱弹簧非线性刚度的计算方法，其特征在于，步骤6所述将步骤4所得弹簧的扭转变形能u
t
和弯曲变形能u
m
和步骤5所得荷载p对弹簧做的总功w代入功能互等定理求得弹簧刚度系数k1,k2,k3，具体包括：根据功能互等定理，有w＝u
t
+u
m
，则弹簧刚度系数k1,k2,k3的计算公式为的计算公式为10.根据权利要求1所述的一种在大变形情况下圆柱弹簧非线性刚度的计算方法，其特征在于，步骤7所述将步骤6所得弹簧刚度系数k1,k2,k3代入步骤2中建立的刚度关系式，则有k(h)＝η(κ0,δκ)k1,η(κ0,δκ)＝1+η2δκ+η3δκ2,δκ＝h/l0式中，系数η2、η3的计算公式为：的计算公式为：

技术总结
本发明涉及一种在大变形情况下圆柱弹簧非线性刚度的计算方法，包括：计算圆柱弹簧丝的倾斜度；提出大变形情况下的两个基本假设，得到弹簧丝长度、极角不变的条件；给出弹簧所受载荷与变形之间的非线性关系，得到相应的刚度系数；求出圆柱弹簧的扭转变形能和弯曲变形能；计算外力对弹簧做的总功；由功能互等定理求出圆柱弹簧的非线性刚度表达式；利用有限元仿真验证刚度表达式的准确性。本发明为通过理论推导得到圆柱弹簧在大变形情况下的非线性刚度表达式，为机械工程中的弹簧设计和应用提供重要参考。供重要参考。供重要参考。


技术研发人员：陈宇 邱金亮 黄智 刘煌 魏伟
受保护的技术使用者：江西赣东路桥建设集团有限公司
技术研发日：2023.07.17
技术公布日：2023/10/7