一种基于改进Landweber算法的图像去模糊方法

一种基于改进landweber算法的图像去模糊方法
技术领域
1.本发明属于图像处理领域中的一种图像去模糊方法，具体涉及一种基于改进landweber算法的图像去模糊方法。


背景技术：

2.生活中由于受到物体运动、相继抖动、光线散焦等多种因素的影响，使得实际拍摄到的照片往往存在很严重的模糊现象，在很多科学领域，如车牌识别、人脸识别、目标检测等计算机视觉检测任务当中产生严重影响导致这些任务的分类和识别结果不准确，所以图像去模糊问题多年来一直备受关注。
3.从数学角度分析，图像去模糊旨在从模糊图像中恢复出清晰的原始图片，由于在模糊过程中高频细节的丢失和部分噪声信息的引入，图像去模糊是一个具有挑战性的问题。模糊操作通常被表示为真实图像与模糊内核的卷积，然而从模糊版本中恢复真实图像叶可视为不适定的逆问题，因为存在无数对模糊核矩阵和清晰真实图像可以得到同一模糊图像。
4.最早使用传统的数字图像处理方法来进行去模糊，主要包括逆滤波、维纳滤波和小波变换等。但是这些方法大多是针对数字图像的，假设已知或估计的模糊核矩阵，并试图反转模糊过程以恢复真实图像。然而，它们对噪声敏感，并且可以放大模糊图像中存在的噪声。随着图像去模糊研究的发展，迭代方法由于其能够处理复杂的模糊模型并结合正则化约束，在图像去模糊中越来越受欢迎，如landweber迭代，它基于类似梯度下降的算法迭代地更新真实图像的估计，但landweber迭代在许多情况下都是成功的，但收敛速度较慢，并且需要大量迭代次数才能趋于收敛。对于图像去模糊问题已经从数学角度等被证明是一个病态问题。在病态问题中，可能存在多种可能的解决方案，或者解决方案可能对数据中的噪声和较小扰动敏感。这种灵敏度是由于模糊过程中的信息丢失而产生的，这使得准确获得真实图像变得具有挑战性。迭代优化算法(如landweber)可用于细化恢复图像的估计值，但是会存在收敛速度较慢，数值解不稳定等各种问题。


技术实现要素：

5.针对背景技术提及的landweber算法存在的问题，本发明涉及一种新颖的图像去模糊算法研究，提出了一种基于改进landweber算法的图像去模糊方法，本发明主要利用了拟牛顿法的快速收敛性质，通过使用bfgs算法来引入并更新hessian矩阵的信息来更快地更新迭代过程中的步长，便于快速收敛恢复图像。本发明在图像恢复和去模糊问题中具有一定的优势，相比于经典的landweber算法具有更快地收敛速度、自适应步长和更好的鲁棒特性，能够有效的提高恢复图像的质量。
6.为了达到上述目的，本发明采用以下技术方案是：
7.首先，获取实际采集图像以及对应的点扩散函数；
8.接着，根据实际采集图像确定模糊-加噪图像矩阵g，根据点扩散函数描述模糊过
程中像素点的权重分布，进而确定模糊核矩阵a；最后，根据模糊-加噪图像矩阵g和模糊核矩阵a，利用改进的landweber算法进行自适应图像恢复，获得最终的真实图像，即清晰图像。
9.所述根据模糊-加噪图像矩阵g和模糊核矩阵a，利用改进的landweber算法进行自适应图像恢复，获得最终的真实图像，具体是：
10.利用landweber算法进行图像恢复，其中将landweber算法中的迭代步长ak设置为随着迭代次数更新的值，结合梯度范数信息，利用拟牛顿算法(bfgs)对迭代步长ak进行自适应控制，公式如下：
[0011][0012][0013][0014][0015][0016]
sk＝x
k-x
k-1
[0017][0018]
其中，f(x)表示图像去模糊问题的目标函数，||
·
||2表示二范数，x
k+1
表示第k+1次迭代的真实图像近似估计值，xk表示第k次迭代的真实图像近似估计值，x
k-1
为第k-1次迭代的真实图像近似估计值，为第k次迭代的目标函数f(xk)处的梯度，为第k+1次迭代的目标函数f(xk)处的梯度，为第k-1次迭代的目标函数f(xk)处的梯度，t表示转置操作，a
′
表示模糊核矩阵a的共轭矩阵，hk为目标函数f(xk)在第k次迭代的估计值xk处的近似hessian矩阵，h
k+1
为第k+1次迭代的hessian矩阵，是梯度向量和其转置的内积，即为梯度向量平方的范数，为梯度向量hessian近似矩阵和梯度向量转置的乘积，即测量沿梯度方向的曲率。sk表示第k次和k-1次迭代结果之间的差异，yk表示第k次和k-1次迭代结果分别求导之后的差异值。
[0019]
所述实际采集图像为模糊或带噪声或者包含模糊和带噪声的图像。
[0020]
所述实际采集图像中的噪声包括高斯噪声。
[0021]
所述实际采集图像中的模糊包括高斯模糊、运动模糊和自定义模糊。
[0022]
本发明相比于现有技术的有益效果在于：
[0023]
相比于传统的landweber迭代算法，本发明提出的基于改进的landweber算法收敛速度更快，可以利用二阶导数信息来加速迭代过程更快地收敛到解附近，减少迭代步骤；同时牛顿加速方法利用hessian矩阵的信息来调整步长，可以更好地处理数值不稳定性，提高算法的鲁棒性和稳定性；此外通过使用hessian矩阵也可以更好地捕捉问题的几何特性和曲率信息，从而提高解的质量和准确性。
附图说明
[0024]
图1为本发明的图像模糊和退化过程。
[0025]
图2为高斯模糊下维纳滤波、传统landweber算法和本发明方法的对比结果图，其中(a)为原始图像、(b)为高斯模糊后的模糊图像、(c)为高斯模糊和添加噪声之后的图像、(d)为维纳滤波去模糊后的图像、(e)为landweber去模糊后的图像、(f)为改进的landweber去模糊后的图像。
[0026]
图3为运动模糊下维纳滤波、传统landweber算法和本发明方法的对比结果图，其中(a)为原始图像、(b)为运动模糊后的模糊图像、(c)为运动模糊和添加噪声之后的图像、(d)为维纳滤波去模糊后的图像、(e)为landweber去模糊后的图像、(f)为改进的landweber去模糊后的图像。
[0027]
图4为自定义模糊下维纳滤波、传统landweber算法和本发明方法的对比结果图，其中(a)为原始图像、(b)为自定义模糊后的模糊图像、(c)为自定义模糊和添加噪声之后的图像、(d)为维纳滤波去模糊后的图像、(e)为landweber去模糊后的图像、(f)为改进的landweber去模糊后的图像。
[0028]
图5为不同迭代次数下本发明方法和传统landweber算法的均根误差比较结果图。
[0029]
图6为本发明的方法流程图。
具体实施方式
[0030]
为了更为具体地描述本发明，下面结合附图及具体实施方式对本发明的技术方案进行详细说明。显然，所描述的实施例仅仅是本发明的部分实施例，而不是全部实施例。
[0031]
在现实生活中由于各种因素的影响，所获取到的图像往往是退化后低像素图像，可以把整体系统模型来描述图像模糊和去模糊的过程。使f(x,y)表示为真实图像，g(x,y)为获取到的观测图像，其中模糊过程可以用积分方程描述为：
[0032]
g(x,y)＝∫∫h(x,y,x
′
,y
′
)f(x
′
,y
′
)dx
′
dy
′
+n(x,y)
ꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀ
(1)
[0033]
其中，退化函数h(x,y,x
′
,y
′
)又被称为点扩散函数(point spread function，psf)，它决定了图像模糊的程度，f(x
′
,y
′
)为变量位置在(x
′
,y
′
)处的原始图像。n(x,y)为噪声，所以图像去模糊是从模糊并受噪声干扰的图像中重构处一个近似的真实图像的过程。
[0034]
将上式(1)的积分方程作用在一个均匀网格上，将获得观测的模糊图像，真实图像和点扩散函数psf的灰度值矩阵分别记为g，f和h。其中g的大小为n
×
n，f和h大小分别为m
×
m和p
×
p。式(1)实际上是一个卷积过程，即m＝n+p-1，可以将其离散为如下线性系统：
[0035]
g＝af+n
ꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀ
(2)
[0036]
式中，f表示真实图像f的列向量按顺序叠加得到的向量，g相同操作。模糊核矩阵为矩形，它由点扩散函数决定。
[0037]
只要确定了点扩散函数，即模糊核矩阵确定，就可以得到真实图像经模糊后的观测图像，而图像去模糊就可以被视为这个问题的反问题。将一幅原始输入图像视为二维离散函数f(x,y)，模糊图像的形成过程可以看做是一幅自然真实图像与退化系统的卷积过程，如果有噪声存在一般考虑噪声干扰的影响且这种噪声是加性的，所以整个模糊过程可
以用数学表达式表达为：
[0038][0039]
其中，g(x,y)是指退化图像，h(x,y)是指退化系统函数，即点扩散函数，f(x,y)为原图像，n(x,y)为加性噪声，代表卷积运算。
[0040]
在数字信号处理过程中，时域中两个信号的乘积等于频域中两个信号的卷积，而时域中两个信号的乘积等于频域中两个信号的卷积，基于这个性质将式(3)的两边均进行傅里叶变化，得到退化模型的傅里叶变化形式：
[0041]
g(u,v)＝h(u,v)f(u,v)+n(u,v)
ꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀ
(4)
[0042]
其中，g(u,v)、h(u,v)、f(u,v)、n(u,v)分别表示退化图像、退化系统函数、原图像以及加性噪声的傅里叶变换结果。
[0043]
对于图像去模糊问题而言，模糊核矩阵a通常是病态的，条件数较大，因此对退化图像进行复原时会出现结果不存在、解不唯一等现象。所以本发明在传统landweber迭代算法的基础上引入拟牛顿算法进行快速收敛求解，landweber迭代是无约束极小迭代算法，可以有效的处理病态问题，其基本思路是将图像去模糊问题转化为目标函数极小值优化问题，即将式(2)转换为如下目标函数：
[0044][0045]
其中，||
·
||2表示二范数。
[0046]
使用式(5)进行landweber迭代，第k+1次迭代的结果x
k+1
可以表示为：
[0047][0048]
其中，xk为第k次迭代时的真实图像近似估计值，ak为迭代步长，其是通过自适应选取的，f(xk)处的梯度为a
′
表示模糊核矩阵a的共轭矩阵。
[0049]
步长的选择对算法的性能和收敛速度有很大影响，较大的步长可能导致算法不稳定或收敛较慢，而较小的步长可能导致收敛速度较慢。因此，本发明采用自适应的方法更新迭代步长，以获得最佳结果。其步长的更新公式如下：
[0050][0051]
其中，是梯度向量和其转置的内积，即为梯度向量平方的范数，为梯度向量，即hessian近似矩阵和梯度向量转置的乘积，即测量沿梯度方向的曲率。该ak计算的比率反应了梯度大小和目标函数曲率之间的权衡，较大的比率表示有利的进展方向，而较小的比率表示不太有利大方向，所以在迭代过程中可以自适应地控制步长，f(x)不仅提高收敛速度，还可以提高精度。
[0052]
在更新步长的过程中引入了hessian矩阵，是通过引入拟牛顿法中的bfgs进行计算，拟牛顿算法是求解非线性无约束优化问题的最有效方法之一，在实际应用中往往比简单的基于梯度的方法收敛速度快很多。此处考虑目标函数f(x)，令sk＝x
k-x
k-1
表示第k次和k-1次迭代结果之间的差异，表示第k次和k-1次迭代结果分别求导之后的差异值。hk为目标函数在xk处近似hessian矩阵，根据拟牛顿方程hksk＝yk得到hk的更新
公式：
[0053][0054]
本发明基于landweber迭代算法的思想，通过使用拟牛顿算法结合自适应更新步长加速迭代，提高收敛速度和精度。
[0055]
所有实施例运行的硬件条件为英特尔core i9-9900k处理器和64gb内存的pc上的matlab r2020b，实施例主要包括点扩散函数的估计和复原真实图像，并采用均方误差(mse)，信噪比(snr)值作为复原图像的评价指标。此外，采用256
×
256大小的
‘
lena’灰度标准作为测试图像。
[0056]
如图6所示，本实施例包括以下步骤：
[0057]
1)采用256
×
256大小的
‘
lena’灰度标准作为原始测试图像，为了用数学方法来处理图像问题，需要将其表达为矩阵形式，矩阵中的数据255代表白色，0代表显示为黑色，在0到255之间的数据代表不同程度的灰度。
[0058]
2)对真实图像添加模糊
[0059]
a1)添加高斯模糊：高斯模糊是成像系统中最普遍的存在，高斯模糊的产生与摄像装置和摄像环境密切相关。真实图像和高斯正态分布的卷积即为高斯模糊的点扩散函数，其数学表达式为：
[0060][0061]
其中，h
i,j
表示高斯模糊的点扩散函数，t表示转置，i,j分别为图像中的像素两个坐标值，k,l是圆心位置的两个坐标值，s1、s2和ρ分别为第一-第三扰动参数，参数s1、s2和ρ用于表示扰动模糊的程度。
[0062]
a2)添加运动模糊：运动模糊一般是指在拍照过程中由于被拍摄的内容发生运动或者某些其他原因导致拍摄设备产生晃动所噪声的图像模糊，此处实施例采用的情况是以匀速直线运动作为研究对象，其运动模糊的点扩散函数为：
[0063][0064]
其中，(i,j)分别表示横纵坐标，d表示运动经过的像素点数，q表示运动方向与i轴的夹角。
[0065]
3)对模糊图像添加噪声：图像除了会受到模糊的影响，此外噪声也是影响图像模糊的一个因素，同时也会造成图像的关键信息缺失，该发明的实施例当中添加了高斯噪声，高斯噪声通常是存在于通信信道、热辐射和传感器当中，其概率密度的数学函数表达式为：
[0066][0067]
式中，p(z)表示概率密度，z为模糊图像的灰度值，μ为期望值，σ为标准差。
[0068]
本实施例中在原始输入图像的灰度值矩阵的基础之上，依次选择对真实图像添加尺寸为4*4，噪声方差为2的高斯模糊和额外的均值为0方差为0.0002的高斯噪声；对真实图
像添加相对位移为10像素、模糊方向为45
°
角的运动模糊和额外的均值为0方差为0.0002的高斯噪声；对真实图像添加自定义模糊其模糊核矩阵为[0.1,0.2,0.1；0.1,0.1,0.2；0.2,0.1,0.1]和额外的均值为0方差为0.0002的高斯噪声。由上可以获取得到模糊和加噪之后的模糊图像g，同时根据模糊类型也可以得到模糊核矩阵a。
[0069]
5)由于模糊核矩阵a通常条件数是病态的矩阵，所以引入landweber算法，该算法是无约束极小化算法可以有效的处理处理病态问题，其基本思路是将图像去模糊问题转化为目标泛函极小值的优化问题：
[0070][0071]
但是传统的landweber算法存在收敛速度慢，精度低等各种问题，故本发明提出了一种基于拟牛顿算法加速的landweber迭代算法对目标函数进行求解，使用拟牛顿算法的收敛速度高于一般的梯度方法，利用hessian矩阵来估计和指导搜索方向和步长的选择，通过动态调整hessian矩阵的估计来提高解的精度和算法的收敛性。其具体迭代步骤为：
[0072]
b1)初始化恢复图像x0，设置迭代次数k之后进行具体迭代；
[0073]
b2)计算每次迭代出的f(xk)处的梯度为
[0074]
b3)在接下来更新过程中需要提前引入了hessian矩阵，是通过引入拟牛顿法中的bfgs进行计算，拟牛顿算法是求解非线性无约束优化问题的最有效方法之一，在实际应用中往往比简单的就提读的方法收敛速度快很多。此处考虑目标函数f(x)，令sk＝x
k-x
k-1
，hk为目标函数在xk处近似hessian矩阵，根据拟牛顿方程hksk＝yk得到hk的更新公式：
[0075][0076]
b4)步长的选择对算法的性能和收敛速度有很大影响，较大的步长可能导致算法不稳定或收敛较慢，而较小的步长可能导致收敛速度较慢。因此，本发明采用自适应的方法更新迭代步长，以获得最佳结果。其步长的更新公式如下：
[0077][0078]
其中是梯度向量和其转置的内积，即为梯度向量平方的范数，为梯度向量。hessian近似矩阵和梯度向量转置的乘积，即测量沿梯度方向的曲率。该比率反应了梯度大小和目标函数曲率之间的权衡，较大的比率表示有利的进展方向，而较小的比率表示不太有利大方向，所以在迭代过程中可以自适应地控制步长，f(x)不仅提高收敛速度，还可以提高精度。
[0079]
b5)使用式(4)进行landweber迭代结合自适应更新步长，第k+1次迭代的结果x
k+1
可以表示为
[0080][0081]
其中xk为第k次迭代时的的真实图像近似估计值，ak为迭代步长，其是通过自适应选取的即b2-b4的过程。
[0082]
使用传统的数字处理算法维纳滤波和传统landweber算法与本发明提出的基于拟牛顿加速的landweber算法进行对比，图2的(a)-图2的(f)、图3的(a)-图3的(f)和图4的(a)-图4的(f)分别显示了维纳滤波和传统landweber算法未恢复出部分细节信息，并且存在“振铃现象”，降低了复原图像的视觉质量，但改进的landweber算法具有更加清晰地边缘信息，去模糊效果良好。
[0083]
对改进的landweber算法、维纳滤波和传统landweber算法进行定量比较，本发明通过计算不同方法下的均方误差(mse)和信噪比(snr)进行衡量，具体计算公式如下：
[0084][0085]
式中，m、n分别代表图像的长、宽，x(i,j)为原始真实图像，x
′
(x,j)为复原图像，||
·
||2表示二范数的平方操作。因此，计算了图2中三种不同方法的定量误差情况，其中维纳滤波、传统landweber算法和改进的landweber算法的mse值分别为0.0053k、0.0047k、0.0011k。snr的值分别为21.7439db、22.2815db、28.6896db。
[0086]
为了进一步验证改进的landweber算法提高了收敛速度，设定迭代次数为50次分别对传统landweber算法和改进的landweber算法在迭代次数内计算每次迭代的mse和snr。图5表示不同迭代次数内的mse值的定量分析情况。结果表明，与传统方法相比，该发明的方法收敛速度更快，可以大大减少迭代步数，提高算法的效率，同时也可以获得更高质量的恢复结果。
[0087]
以上所述的具体实施例，对本发明的目的、技术方案和有益效果进行了进一步的详细说明，应当理解，以上所述仅为本发明的具体实施例而已，并不用于限定本发明的保护范围。特别指出，对于本领域技术人员来说，凡在本发明的精神和原则之内，所做的任何修改、等同替换、改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。

技术特征：
1.一种基于改进landweber算法的图像去模糊方法，其特征在于，包含如下步骤：首先，获取实际采集图像以及对应的点扩散函数；接着，根据实际采集图像确定模糊-加噪图像矩阵g，根据点扩散函数描述模糊过程中像素点的权重分布，进而确定模糊核矩阵a；最后，根据模糊-加噪图像矩阵g和模糊核矩阵a，利用改进的landweber算法进行自适应图像恢复，获得最终的真实图像。2.根据权利要求1所述的一种基于改进landweber算法的图像去模糊方法，其特征在于，所述根据模糊-加噪图像矩阵g和模糊核矩阵a，利用改进的landweber算法进行自适应图像恢复，获得最终的真实图像，具体是：利用landweber算法进行图像恢复，其中将landweber算法中的迭代步长α
k
设置为随着迭代次数更新的值，结合梯度范数信息，利用拟牛顿算法对迭代步长α
k
进行自适应控制，公式如下：式如下：式如下：式如下：式如下：s
k
＝x
k-x
k-1
其中，f(x)表示目标函数，||
·
||2表示二范数，x
k+1
表示第k+1次迭代的真实图像近似估计值，x
k
表示第k次迭代的真实图像近似估计值，x
k-1
为第k-1次迭代的真实图像近似估计值，为第k次迭代的目标函数f(x
k
)处的梯度，为第k+1次迭代的目标函数f(x
k
)处的梯度，为第k-1次迭代的目标函数f(x
k
)处的梯度，t表示转置操作，a
′
表示模糊核矩阵a的共轭矩阵，h
k
为目标函数f(x
k
)在第k次迭代的估计值x
k
处的近似hessian矩阵，h
k+1
为第k+1次迭代的hessian矩阵，是梯度向量和其转置的内积，为梯度向量hessian近似矩阵和梯度向量转置的乘积，s
k
表示第k次和k-1次迭代结果之间的差异，y
k
表示第k次和k-1次迭代结果分别求导之后的差异值。3.根据权利要求1所述的一种基于改进landweber算法的图像去模糊方法，其特征在于，所述实际采集图像为模糊或带噪声或者包含模糊和带噪声的图像。4.根据权利要求3所述的一种基于改进landweber算法的图像去模糊方法，其特征在于，所述实际采集图像中的噪声包括高斯噪声。5.根据权利要求3所述的一种基于改进landweber算法的图像去模糊方法，其特征在于，所述实际采集图像中的模糊包括高斯模糊、运动模糊和自定义模糊。

技术总结
本发明公开了一种基于改进Landweber算法的图像去模糊方法。本发明包括以下步骤：首先，获取实际采集图像以及对应的点扩散函数；接着，根据实际采集图像确定模糊-加噪图像矩阵g，根据点扩散函数描述模糊过程中像素点的权重分布进而确定模糊核矩阵A；最后，根据模糊-加噪图像矩阵g和模糊核矩阵A，利用改进的Landweber算法进行自适应图像恢复，获得最终的真实图像，即清晰图像。本发明通过引入拟牛顿加速技术到Landweber迭代中，提高了经典Landweber算法在图像去模糊任务中的收敛速度和恢复质量。和恢复质量。和恢复质量。


技术研发人员：王梦娜 杨晓城 蒋明峰 郑俊褒
受保护的技术使用者：浙江理工大学
技术研发日：2023.07.04
技术公布日：2023/10/7