具有不确定性的电液伺服系统的预设时间跟踪控制方法

1.本发明涉及电液伺服控制技术，具体涉及一种具有不确定性的电液伺服系统的预设时间跟踪控制方法。


背景技术：

2.电液伺服系统凭借其功率密度大、动态响应快、抗负载刚性强、输出力/力矩大等突出优点，广泛应用于航空航天、兵器、船舶等高端装备，以及智能机器人、工程机械、冶金工业等领域，并往往处于控制和动力传输的核心地位。然而电液伺服系统是典型的高度非线性系统，存在诸多的非线性特性及模型不确定性，是制约其控制性能提升的瓶颈因素。电液伺服系统的控制性能直接决定了高端装备的核心性能，而先进的伺服控制算法是实现高性能伺服控制的关键。
3.针对电液伺服系统的非线性控制问题，许多方法相继被提出。如滑模控制、自适应鲁棒控制(arc)、误差符号鲁棒积分(rise)控制等。然而，滑模控制通常会导致物理系统中的控制输入不连续和抖动问题；自适应鲁棒控制在理论上只能保证在参数不确定性和未建模扰动同时存在的情况下跟踪误差有界。rise控制器由于积分鲁棒控制律对任何平滑时变干扰的高度鲁棒性，确保了渐近跟踪性能，但是该控制方法所设计的控制器中的非线性鲁棒增益的取值需要满足一定的条件，该条件跟系统的建模不确定性对时间的一阶导数和二阶导数的上界密切相关。值得注意的是，现有的电液伺服系统大多非线性控制方法只能保证系统跟踪误差接近于零或随时间走向无穷大而任意小。对于实际工程应用，我们总是希望跟踪误差尽快收敛到零。因此，上述控制方法的快速收敛性能有待进一步提高。为了解决此问题，有限时间控制在过去几十年中受到了控制界的广泛关注。现有的有限时间控制方法一般分为三类，包括基于齐次方法、终端滑模控制和基于状态反馈的分数幂法。然而，现有的有限时间控制方法作用下的系统最终稳定时间取决于初始状态或设计参数，无法保证收敛时间可以预先确定。


技术实现要素：

4.本发明的目的在于提供一种具有不确定性的电液伺服系统的预设时间跟踪控制方法。
5.实现本发明目的的技术解决方案为：一种具有不确定性的电液伺服系统的预设时间跟踪控制方法，包括以下步骤：
6.步骤1，建立电液伺服系统的数学模型，转入步骤2。
7.步骤2，根据电液伺服系统的数学模型，设计预设时间跟踪控制器，转入步骤3。
8.步骤3，运用李雅普诺夫稳定性理论对预设时间跟踪控制器下的电液伺服系统进行稳定性证明，并得到系统预设时间内跟踪误差收敛到零的结果。
9.本发明与现有技术相比，其显著优点是：有效地解决了传统非线性方法瞬态跟踪误差收敛性能较差的问题，且系统稳定时间不依赖于初始状态条件，获得了更好的跟踪性
能。仿真结果验证了其有效性。
附图说明
10.图1是本发明电液伺服系统的原理图。
11.图2是电液伺服系统预设时间跟踪控制方法原理示意图。
12.图3是系统期望指令为x
1d
＝10
·
sin(π
·
t)mm时本发明所设计的预设时间跟踪控制器(ptc)、反馈线性化控制器(flc)和传统pid控制器作用下系统的跟踪误差对比曲线图。
13.图4是系统期望指令为x
1d
＝10
·
sin(π
·
t)mm时本发明所设计的预设时间跟踪控制器(ptc)作用下系统输出对期望指令的跟踪过程曲线图。
14.图5是系统期望指令为x
1d
＝10
·
sin(π
·
t)mm时本发明所设计的预设时间跟踪控制器(ptc)作用下系统的跟踪误差随时间变化的曲线图。
15.图6是系统期望指令为x
1d
＝10
·
sin(π
·
t)mm时本发明所设计的预设时间跟踪控制器(ptc)作用下系统控制输入随时间变化的曲线图。
16.图7是系统期望指令为x
1d
＝10mm时本发明所设计的预设时间跟踪控制器(ptc)、反馈线性化flc控制器和传统pid控制器作用下系统的跟踪误差对比曲线图。
17.图8是系统期望指令为x
1d
＝10mm时本发明所设计的预设时间跟踪控制器(ptc)作用下系统控制输入随时间变化的曲线图。
具体实施方式
18.本发明针对具有不确定性的电液伺服系统，提出了预设时间跟踪控制方法，引入改进型有限时间函数对虚拟误差进行缩放，设计可预设时间控制器，有效地解决了传统非线性方法瞬态跟踪误差收敛性能较差的问题，且系统稳定时间不依赖于初始状态条件，获得了更好的跟踪性能。
19.下面结合附图及具体实施例对本发明作进一步详细说明。
20.结合图1～2，本发明所述的一种具有不确定性的电液伺服系统的预设时间跟踪控制方法，包括以下步骤：
21.步骤1，建立电液伺服系统的数学模型；
22.s1.1、假设电液伺服系统是通过阀控双杆液压缸直接驱动惯性负载。控制目标是使惯性负载尽可能准确地跟踪任何平滑的运动轨迹。
23.因此，根据牛顿第二定律，电液伺服系统的运动方程为：
[0024][0025]
式(1)中，m为惯性负载的质量，y为惯性负载的位移，p
l
为液压缸负载的压差，a为活塞有效作用面积，bv表示有效粘性阻尼系数，f(t)为系统非匹配的不确定性，为惯性负载的速度，为惯性负载的加速度，t表示运行时间。
[0026]
电液伺服系统的压力动态方程为：
[0027][0028]
式(2)中，v
t
为系统控制腔总体积，表示p
l
的导数，βe为液压缸有效容积液体弹性
模量，c
t
为总泄漏系数，q
l
为负荷流量，q(t)表示由于复杂内漏、参数不确定性和未建模动力学效应因素引起的模型不确定性。
[0029]
忽略阀芯动态，则伺服阀的负载流量方程为：
[0030][0031]
式(3)中，ps是流体的恒定供油压力，u为系统控制输入，即预设时间跟踪控制器，流量增益cd是流量系数，w是滑阀面积梯度，ρ是油液密度，符号函数sign(u)定义为：
[0032][0033]
s1.2、定义状态变量x：则式(1)运动方程转化为状态方程，即电液伺服系统的数学模型：
[0034][0035]
式(5)中，系数g、系数系数系数均为名义值且已知。
[0036][0037]
系统非匹配干扰项d1＝f(t)/m，系统匹配的干扰项d2＝4βeaq(t)/(mv
t
)，x1表示惯性负载的位移，x2表示惯性负载的速度，x3表示惯性负载的加速度，表示x1的导数，表示x2的导数，表示x3的导数。
[0038]
为便于控制器设计，假设如下：
[0039]
假设1：系统跟踪的运动轨迹三阶连续可微且有界；
[0040]
假设2：电液位置伺服系统在正常工况下工作，液压缸左、右两腔的压力p1和p2须满足如下条件：0《pr《p1《ps，0《pr《p2《ps；pr表示系统回油压力；
[0041]
假设3：系统匹配和不匹配的不确定性均有界即：|d1|≤δ1、|d2|≤δ2，其中δ1，δ2均为未知正常数。
[0042]
转入步骤2。
[0043]
步骤2，根据电液伺服系统的数学模型，设计预设时间跟踪控制器，步骤如下：
[0044]
s2.1、定义改进的有限时间函数μ(t)∈[0,tf)：
[0045][0046]
式(6)中，tf为预设收敛时间，n为电液伺服系统阶数，n1为正整数项，a为正常数项，式(6)满足：
[0047][0048]
l
∞
[0,tf)表示[0,tf)上的有界函数集，易证明μ(0)＝1+a，μ(tf)＝+∞。
[0049]
s2.2、定义系统的跟踪误差e＝x
1-x
1d
，x
1d
是系统期望跟踪的位置指令且该指令三阶连续可微；使用改进的有限时间函数μ(t)进行虚拟误差的缩放，为了便于以后的控制器设计，定义两种变量ωi和ηi，ωi表示虚拟误差，ηi表示虚拟误差的缩放值，自变量i＝1,2,3：
[0050][0051]
式(7)中α1,α2表示系统的虚拟控制。
[0052]
s2.3、根据电液伺服系统的数学模型，设计预设时间跟踪控制器u。
[0053]
s2.3.1、根据式(5)中的第一个方程以及式(7)中ωi的定义，选取α1为虚拟控制，使方程趋于稳定状态：
[0054][0055]
对虚拟误差ωi进行缩放，得到虚拟误差的缩放值ηi[0056]
η1＝μω1＝μe＝μ(x
1-x
1d
)
ꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀ
(9)
[0057]
上式中，μ表示μ(t)的简写；ω1表示第一虚拟误差，η1表示第一虚拟误差的缩放值。
[0058]
对式(9)两边求导并运用式(7)和式(8)，得：
[0059][0060]
上式中，表示变量*的一阶导数；ω2表示第二虚拟误差，η2表示第二虚拟误差的缩放值。
[0061]
定义李雅普诺夫函数对其两边求导得：
[0062][0063]
设计虚拟控制α1：
[0064][0065]
式(11)中，可调增益k1＞0，为静态阻尼项，则：
[0066][0067]
s2.3.2、根据式(5)中的第二个方程以及式(7)中ωi的定义，选取α2为虚拟控制，使方程趋于稳定状态：
[0068][0069]
对虚拟误差进行缩放，并对式两边求导得：
[0070][0071]
上式中，ω3表示第三虚拟误差，η3表示第三虚拟误差的缩放值。定义李雅普诺夫函
数对其两边求导得：
[0072][0073]
基于假设3中|d1|≤δ1φ1，常数项φ1＝1，使用杨氏不等式：
[0074][0075][0076]
式(17)中，定义常数项δ1＝max{1,δ1}，中间函数常数θ1》0，*
(j)
表示*的第j阶导数。
[0077]
运用式(16)和(18)，设计虚拟控制α2：
[0078][0079]
式(19)中可调增益k2＞0，则：
[0080][0081]
s2.3.3、根据式(5)中的第三个方程以及式(7)中ωi的定义，得：
[0082][0083]
对虚拟误差进行缩放，并对式两边求导得：
[0084][0085]
式(19)中对虚拟控制α2求导得：
[0086][0087]
定义李雅普诺夫函数对其两边求导可得：
[0088][0089]
式(24)中定义常数项δ2＝max{1,δ1,δ2}，中间函数常数θ2》0。
[0090]
根据式(24)，基于电液伺服系统的数学模型，预设时间跟踪控制器u如下：
[0091][0092]
将式(25)带入式(24)，得：
[0093][0094]
转入步骤3。
[0095]
步骤3，运用李雅普诺夫稳定性理论对预设时间跟踪控制器下的电液伺服系统进行稳定性证明，并得到系统预设时间内跟踪误差收敛到零的结果，具体如下：
[0096]
定义李雅普诺夫函数如下：
[0097][0098]
运用式(13)、(20)和(26)可得：
[0099][0100]
式(28)中，中间函数k＝min{k1,k2,k3}，常数项常数项θ≤min{θ1,θ2}；解不等式可得：
[0101][0102]
其中，τ和s均表示积分函数自变量，v(0)表示函数v的初始值。
[0103]
计算式(29)右侧项：
[0104][0105]
运用式(29)和(30)可得：
[0106][0107]
式(31)中是单调递减函数，并且始终为正。因此，得到v是有界的，则ωi和ηi是有界的，由于η1∈l
∞
[0,tf)且η1＝μ(t)ω1，根据μ(t)的定义，可证明在调节增益k1、k2、k3作用下系统的跟踪在预设时间内收敛到零，即
[0108]
为证明控制器所有内部信号在[0,tf)上有界，首先由于ωi和ηi均属于l
∞
[0,tf)，l
∞
[0,tf)表示在[0,tf)上有界的函数集，且由假设1、2，显然可得ω1＝μ-1
(t)η1、与均有界，则可确定α1∈l
∞
[0,tf)，根据式(7)可得x2有界。为证明α2有界，对的有界性论证。根据式(11)和(13)可得则：
[0109][0110]
式(32)中，常数项由于η1∈l
∞
[0,tf)则存在常数c1,c2使得：
[0111][0112]
根据式(34)反复使用洛必达法则可得：
[0113][0114]
由式(35)可得当t
→
tf时η1趋近于零的速度不低于(t
f-t)的(n1+n-1)次幂，继续使用洛必达法则对式(35)求导可得：
[0115][0116]
由式(36)可得当t
→
tf时趋近于零的速度不低于(t
f-t)的(n1+n-2)次幂，则：
[0117][0118]
式(37)中，表示变量*的二阶导数。
[0119]
因此，可以保证α2的有界性。根据式(7)，可得x3也是有界的。遵循此推论规律并按照洛必达法则，可证得[0,tf)上α2,与u(t)均有界。
[0120]
因此有结论：针对电液伺服系统(如式(5))设计的预设时间跟踪控制器可以使系统得到预设时间内稳定的结果，调节增益k1、k2、k3可以使系统的跟踪误差在预设时间内收敛到零。电液伺服系统可预设时间跟踪控制原理示意图如图2所示。
[0121]
实施例
[0122]
从根本上说，无论初始条件如何，可预设时间跟踪器都是通过控制增益来实现的，在确保状态和控制输入保持连续和有界的情况下，当t
→
tf时达到∞的控制增益使得系统
预设时间内稳定。然而，在实践中，采用的解决方案是在规定时间之前在时变高增益函数中添加一个饱和值。这种方法通过避免无限增益来促进实际系统实现，略微牺牲了收敛精度，该种方法将用于后续仿真中。
[0123]
为考核所设计的控制器性能，在仿真中取如下参数对电液伺服系统进行建模：
[0124]
惯性负载参数m＝30kg，粘性摩擦系数bv＝4000n
·
s/m；力矩放大系数ki＝5n
·
m/v，活塞压力面积a＝904.78mm2，恒定供油压力ps＝10mpa，系统控制腔总体积v
t
＝7.96
×
10-5
m3，有效容积液体弹性模量βe＝700mpa，流量增益ku＝1.1969
×
10-8
m3/s/v/pa
1/2
，总泄漏系数c
t
＝1
×
10-13
m3/s/pa；
[0125]
根据两种不同的系统工况，将仿真过程分成两部分：
[0126]
①
给定系统的期望指令为x
1d
＝10
·
sin(π
·
t)mm时
[0127]
取如下的控制器以作对比：
[0128]
预设时间跟踪控制器(ptc)：取控制器参数tf＝1.5s，k1＝6
×
10-6
，k2＝4
×
10-7
，k3＝7
×
10-6
，θ1＝10-26
，θ2＝5
×
10-30
，andn＝3，n1＝1
[0129]
反馈线性化控制器(flc)：控制器设计如下：
[0130][0131][0132]
取控制器参数k1＝1100,k2＝70,k3＝1300；
[0133]
pid控制器：比例-积分-微分控制器，控制器参数为k
p
＝150，ki＝100，kd＝0，分别表示p增益、i增益和d增益。
[0134]
ptc、flc与pid控制器作用下的系统跟踪误差对比曲线、ptc作用下系统输出对期望指令的跟踪曲线、ptc作用下系统跟踪误差曲线分别如图3，图4和图5所示。由图3可以看出，与pid相比，flc具有良好的补偿建模不确定性的能力，获得的跟踪误差更小。通过引入有限时间函数，ptc实现了规定时间后跟踪误差收敛为零的结果，跟踪性能大大提高。因此，与flc和pid相比，ptc实现了最佳的跟踪性能。
[0135]
图6是给定系统的期望指令为x
1d
＝10
·
sin(π
·
t)mm时ptc作用下电液系统控制输入随时间变化的曲线图。从图中可以看出，所获得的控制输入是连续的信号，更利于在实际应用中的执行。
[0136]
②
给定系统的期望指令为x
1d
＝10mm时，取如下控制器以作对比：
[0137]
预设时间跟踪控制器(ptc)：取控制器参数tf＝1.5s，k1＝6
×
10-6
，k2＝4
×
10-7
，k3＝7
×
10-6
，θ1＝10-26
，θ2＝5
×
10-30
，andn＝3，n1＝1。
[0138]
反馈线性化控制器(flc)：取控制器参数k1＝350,k2＝25,k3＝410。
[0139]
pid控制器：比例-积分-微分控制器，控制器参数为k
p
＝70，ki＝30，kd＝0。
[0140]
该工况比较不同控制器的阶跃响应性能。图7为三种不同控制器作用下的跟踪误差对比，如图所示，所提出的ptc作用下系统的跟踪误差在规定的时间内仍然收敛到零，整个控制性能在瞬态和稳态跟踪性能方面均优于pid和flc。图8是给定系统的期望指令为x
1d
＝10mm时，在ptc作用下电液系统的控制输入。

技术特征：
1.一种具有不确定性的电液伺服系统的预设时间跟踪控制方法，其特征在于，包括以下步骤：步骤1，建立电液伺服系统的数学模型，转入步骤2；步骤2，根据电液伺服系统的数学模型，设计预设时间跟踪控制器，转入步骤3；步骤3，运用李雅普诺夫稳定性理论对预设时间跟踪控制器下的电液伺服系统进行稳定性证明，并得到系统预设时间内跟踪误差收敛到零的结果。2.根据权利要求1所述的具有不确定性的电液伺服系统的预设时间跟踪控制方法，其特征在于，步骤1中建立电液伺服系统的数学模型，具体如下：s1.1、假设电液伺服系统是通过阀控双杆液压缸直接驱动惯性负载，控制目标是使惯性负载尽可能准确地跟踪任何平滑的运动轨迹：因此，根据牛顿第二定律，电液伺服系统的运动方程为：式(1)中，m为惯性负载的质量，y为惯性负载的位移，p
l
为液压缸负载的压差，a为活塞有效作用面积，b
v
表示有效粘性阻尼系数，f(t)为系统非匹配的不确定性，为惯性负载的速度，为惯性负载的加速度，t表示运行时间；电液伺服系统的压力动态方程为：式(2)中，v
t
为系统控制腔总体积，表示p
l
的导数，β
e
为液压缸有效容积液体弹性模量，c
t
为总泄漏系数，q
l
为负荷流量，q(t)表示由于复杂内漏、参数不确定性和未建模动力学效应因素引起的模型不确定性；忽略阀芯动态，则伺服阀的负载流量方程为：式(3)中，p
s
是流体的恒定供油压力，u为系统控制输入，即预设时间跟踪控制器，流量增益c
d
是流量系数，w是滑阀面积梯度，ρ是油液密度，符号函数sign(u)定义为：s1.2、定义状态变量x：则式(1)运动方程转化为状态方程，即电液伺服系统的数学模型：式(5)中，系数g、系数系数系数均为名义值且已知；
系统非匹配干扰项d1＝f(t)/m，系统匹配的干扰项d2＝4β
e
aq(t)/(mv
t
)，x1表示惯性负载的位移，x2表示惯性负载的速度，x3表示惯性负载的加速度，表示x1的导数，表示x2的导数，表示x3的导数；为便于控制器设计，假设如下：假设1：系统跟踪的运动轨迹三阶连续可微且有界；假设2：电液位置伺服系统在正常工况下工作，液压缸左、右两腔的压力p1和p2须满足如下条件：0<p
r
<p1<p
s
，0<p
r
<p2<p
s
；p
r
表示系统回油压力；假设3：系统匹配和不匹配的不确定性均有界即：|d1|≤δ1、|d2|≤δ2，其中δ1，δ2均为未知正常数。3.根据权利要求2所述的具有不确定性的电液伺服系统的预设时间跟踪控制方法，其特征在于：系统非匹配的不确定性f(t)包括未建模非线性和外部干扰。4.根据权利要求1所述的电液伺服系统的预设时间控制方法，其特征在于，步骤2中，根据电液伺服系统的数学模型，设计预设时间跟踪控制器u，具体步骤如下：s2.1、定义改进的有限时间函数μ(t)∈[0,t
f
)：式(6)中，t
f
为预设收敛时间，n为电液伺服系统阶数，n1为正整数项，a为正常数项，式(6)满足：l
∞
[0,t
f
)表示[0,t
f
)上的有界函数集，易证明μ(0)＝1+a，μ(t
f
)＝+∞；s2.2、定义系统的跟踪误差e＝x
1-x
1d
，x
1d
是系统期望跟踪的位置指令且该指令三阶连续可微；使用改进的有限时间函数μ(t)进行虚拟误差的缩放，为了便于以后的控制器设计，定义两种变量ω
i
和η
i
，ω
i
表示虚拟误差，η
i
表示虚拟误差的缩放值，自变量i＝1,2,3：式(7)中α1,α2均表示系统的虚拟控制；s2.3、根据电液伺服系统的数学模型，设计预设时间跟踪控制器u；根据式(5)中的第一个方程以及式(7)中ω
i
的定义，选取α1为虚拟控制，使方程趋于稳定状态：对虚拟误差ω
i
进行缩放，得到虚拟误差的缩放值η
i
η1＝μω1＝μ(x
1-x
1d
)
ꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀ
(9)上式中，μ表示μ(t)的简写；ω1表示第一虚拟误差，η1表示第一虚拟误差的缩放值；对式(9)两边求导并运用式(7)和式(8)，得：
上式中，表示变量*的一阶导数；ω2表示第二虚拟误差，η2表示第二虚拟误差的缩放值；定义李雅普诺夫函数对其两边求导得：设计虚拟控制α1：式(11)中，可调增益k1＞0，为静态阻尼项，则：根据式(5)中的第二个方程以及式(7)中ω
i
的定义，选取α2为虚拟控制，使方程趋于稳定状态：对虚拟误差进行缩放，并对式两边求导得：上式中，ω3表示第三虚拟误差，η3表示第三虚拟误差的缩放值；定义李雅普诺夫函数对其两边求导得：基于假设3中|d1|≤δ1φ1，常数项φ1＝1，使用杨氏不等式：＝1，使用杨氏不等式：式(17)中，定义常数项δ1＝max{1,δ1}，中间函数常数θ1>0，*(j)表示*的第j阶导数；运用式(16)和式(18)，设计虚拟控制：式(19)中可调增益k2＞0，则：根据式(5)中的第三个方程以及式(7)中ω
i
的定义，得：
对虚拟误差进行缩放，并对式两边求导得：式(19)中对虚拟控制α2求导得：定义李雅普诺夫函数对其两边求导得：式(24)中定义常数项δ2＝max{1,δ1,δ2}，中间函数常数θ2>0；根据式(24)，基于电液伺服系统的数学模型，预设时间跟踪控制器u如下：将式(25)带入式(24)，得：5.根据权利要求1所述的具有不确定性的电液伺服系统的预设时间跟踪控制方法，其特征在于，步骤3中，所述运用李雅普诺夫稳定性理论对预设时间跟踪控制器下的电液伺服系统进行稳定性证明，并得到系统预设时间内跟踪误差收敛到零的结果，具体如下：定义李雅普诺夫函数如下：运用式(13)、(20)和(26)得：式(28)中，中间函数k＝min{k1,k2,k3}，常数项常数项θ≤min{θ1,θ2}；解
不等式得：其中，τ和s均表示积分函数自变量，v(0)表示函数v的初始值；计算式(29)右侧项：运用式(29)和式(30)得：式(31)中是单调递减函数，并且始终为正；因此，得到v是有界的，则ω
i
和η
i
均是有界的，由于η1∈l
∞
[0,t
f
)且η1＝μ(t)ω1，根据μ(t)的定义，即可证明在调节增益k1、k2、k3作用下系统的跟踪在预设时间内收敛到零。

技术总结
本发明公开了一种具有不确定性的电液伺服系统的预设时间跟踪控制方法，基于传统的反步设计控制方法，结合改进的有限时间函数对控制误差进行缩放，设计预设时间控制器保证输出跟踪误差在固定时间内收敛到零。该控制方法是针对如下问题提出的：目前已有的电液伺服系统非线性控制方法，误差瞬态收敛性能较差，通常只能保证跟踪误差在时间趋于无穷的情况下才能趋近于零或者任意小的有界范围，而在实际应用中总是希望跟踪误差能够尽快收敛到零。所公开的控制方法能够在预设时间内实现非常理想的收敛，有效地解决了传统非线性控制方法收敛性能较差的问题，且收敛时间可以明确确定并独立于初始状态条件，获得了更好的跟踪性能。获得了更好的跟踪性能。获得了更好的跟踪性能。


技术研发人员：邓文翔 阙妮喃 姚建勇
受保护的技术使用者：南京理工大学
技术研发日：2023.07.06
技术公布日：2023/10/11