基于CCM算法的MIMO雷达正交稀疏频率波形序列集设计方法

基于ccm算法的mimo雷达正交稀疏频率波形序列集设计方法
技术领域
1.本发明属于雷达技术领域，特别涉及一种基于复圆流形(complex circle manifold,ccm)算法的mimo雷达正交稀疏频率波形序列集设计方法。


背景技术：

2.正交波形序列集是指具有良好自相关和互相关性的波形序列集，即每个发射波形序列在非零时间延迟点自相关旁瓣接近零，且在任意时间延迟点不同发射波形之间的互相关旁瓣接近零。正交波形序列集能够有效提高雷达的分辨率、检测性能、成像质量以及获取信息的能力。因此，正交波形序列集设计受到广大学者关注。如文献(h.he,p.stoica and j.li.designing unimodular sequence sets with good correlations—including an application to mimo radar[j].ieee transactions on signal processing,2009,57(11):4391-4405.)以最小化自相关和互相关的加权积分旁瓣电平(weighted integrated sidelobe level,wisl)为目标函数，在恒模约束下提出了新加权循环算法(weighted cyclic algorithm new,wecan)以实现正交波形序列集优化。但是该算法在求解过程中，引入了其他辅助变量，同时需要进行矩阵的开方运算和矩阵的特征值分解，算法的复杂度较高。文献(j.song,p.babu and d.p.palomar.sequence set design with good correlation properties via majorization-minimization[j].ieee transactions on signal processing,2016，64(11):2866-2879.)利用最大最小化(majorization-minimization,mm)算法设计具备低旁瓣的正交波形序列集，文献将波形序列集的wisl作为目标函数，波形恒模作为约束，建立优化问题。然后利用mm算法将难以直接求解的优化问题转化为易于求解的上界优化问题，并且利用快速傅里叶变换(fast fourier transform,fft)降低了算法的复杂度。上述wecan和mm算法亦可以实现正交波形序列的部分旁瓣抑制。
[0003]
然而，随着雷达系统与通信系统的迅速发展，频谱资源日益紧张，工作在甚高频和超高频的雷达会面临同频段设备的干扰。针对这一问题，雷达稀疏频率序列设计得到了广泛的关注，其主要思想是在雷达波形干扰频带上设置阻带，降低发射波形在该频带上的能量。如图1为稀疏频率波形的频谱图，图中上方直线为全频带；阴影部分表示被占用的频带，即频率阻带，其中包含[f1,f2]∪[f3,f4]∪[f5,f6]∪[f7,f8]∪[f9,f
10
]五个频率阻带；全频带加入频率阻带后为设置的期望频谱。这种设计方法大大提高了频带的利用率和雷达系统的抗干扰能力。但稀疏频率波形序列设计也面临着诸多困难，由于频谱的稀疏性，不同频带的直接组合会导致稀疏频率波形序列集的自相关函数和互相关函数出现大范围的高旁瓣电平。因此，设计较低旁瓣的稀疏频率波形序列问题吸引了广泛的关注。针对该问题，文献(周宇,张林让,赵珊珊.组网雷达低自相关旁瓣和互相关干扰的稀疏频谱波形设计方法[j]。电子与信息学报，2014,36(6):1394-1399.)以联合优化正交序列集的积分旁瓣电平(integrated sidelobe level,isl)和功率谱密度(power spectrum density,psd)作为目标函数；利用离散傅里叶变换性质和特征子空间分解，提出循环迭代算法(cyclic iteration algorithm,cia)求解该波形优化问题。但是，该文献未考虑实际情况中的一些
特殊场景，即需要在特定的延迟范围内抑制正交稀疏频率波形序列的自相关旁瓣和互相关旁瓣；且该文献中的cia算法不能在部分延迟范围内抑制自相关旁瓣和互相关旁瓣。同时，该文献在循环求解过程中，引入了其他的辅助变量，算法复杂度较高，收敛性能较低。
[0004]
因此，为了减小波形优化算法复杂度，本发明引入一种复圆流形(complex circle manifold，ccm)算法设计正交稀疏频率波形序列集。流形优化也称黎曼优化，是absil p a等人在2008年提出的一种基于黎曼流形的优化框架(absil p a,mahony r,sepulchre r.optimization algorithms on matrix manifolds[m].princeton university press,2008.)，在近几年受到了越来越多的关注和应用。流形优化提供了一个新的角度去求解和分析一类特殊的约束优化问题，也就是流形约束优化问题。ccm算法是流形优化的一种，是基于梯度算法的复圆流形优化算法，它本质上是在恒模约束条件下构成的复圆流形上利用梯度算法对目标函数进行求解。
[0005]
图2给出了ccm算法的几何解释，结合图2对ccm算法介绍如下：
[0006]
ccm算法是一种基于梯度算法的流形优化算法，它本质上是在恒模约束所构成的复圆流形上利用梯度算法对目标函数进行优化求解。其求解过程如下：
[0007]
定义s是一个复数圆，即本发明在恒模约束优化问题中的搜索空间可以看成是mn个复圆的乘积，定义为
[0008][0009]
其中，[ym]n表示矢量ym的第n个元素。
[0010]
待求解的优化问题为：
[0011][0012]
其中，f(y)为优化目标函数。
[0013]
利用ccm算法求解优化问题(2)的步骤主要分为投影(projection)-梯度(descent)-回缩(retraction)三步，分别如下。
[0014]
projection：目标函数在恒模约束条件所构成的复圆流形上最小化，因此需要找到目标函数下降的黎曼梯度。首先可求取目标函数f(y)在第l次迭代点y
(l)
∈s
mn
的欧氏空间负梯度，即η
(l)
＝
‑▽
y(l)
f(y
(l)
)。目标函数f(y)在第l次迭代点y
(l)
∈s
mn
的黎曼梯度是在流形s
mn
的切面t
y(l)smn
上。即可利用投影算子将欧氏空间中的搜索梯度
[0015][0016]
其中，表示哈达玛乘积。
[0017]
descent：按照步长β
(l)
和搜索方向进行更新，得到新的优化变量：
[0018]
[0019]
retraction：通过式(4)更新得到的新变量因此需要通过一个缩回算子将其映射回复圆流形，即
[0020][0021]
ccm算法在雷达方向图设计和波形设计等问题上有所应用。文献(alhujaili k,monga v,rangaswamy m.transmit mimo radar beampattern design via optimization on the complex circle manifold[j].ieee transactions on signal processing,2019,67(13):3561-3575.)将ccm算法应用于mimo雷达方向图设计。文献(alhujaili k,monga v,rangaswamy m.correlation-gradient-descent:efficient optimization methods for unimodular waveform design with desirable correlation properties[c].2020ieee international radar conference(radar).ieee,2020.)将ccm算法应用于mimo雷达中的低自相关、互相关正交波形设计，但该文献直接计算高维度矩阵之间的乘法，增加了算法的复杂度。已有文献未利用ccm算法对mimo雷达中的正交稀疏频率波形序列集进行优化设计。


技术实现要素：

[0022]
本发明的目的是为了针对现有技术的不足，提出了一种基于ccm算法的mimo雷达正交稀疏频率波形序列集设计方法，以正交序列集的相关特性和稀疏频谱特性为优化目标，在波形的恒模约束下，利用ccm算法进行波形优化。该算法以最小化目标函数为目标，寻找目标函数的最快下降方向，并利用armijo线性搜索来求解ccm算法所需的合适步长，以保证算法的收敛性。同时在算法迭代求解的过程中，多次利用fft，降低了算法的复杂度。本发明提出利用ccm算法设计mimo雷达正交稀疏频率波形序列集，能直接解决发射波形序列的恒模约束问题，相比于已有的cia具有更低的计算复杂度、更快的收敛速度和更强的稳定性。
[0023]
为实现上述目的，本发明采用如下技术方案：
[0024]
基于ccm算法的mimo雷达正交稀疏频率波形序列集设计方法，包括以下步骤：
[0025]
步骤1：根据实时频谱监测系统(real time spectrum monitor system,rtsms)监测到的频谱环境，划定可用频谱范围和不可用频谱范围，从而确定期望频谱的通带和阻带；
[0026]
步骤2：根据mimo雷达发射正交稀疏频率波形序列集低自相关旁瓣和互相关旁瓣要求，构造加权积分旁瓣电平weighted integrated sidelobe level,wisl目标函数ψ
wisl
(x)，以描述波形集的自相关和互相关旁瓣水平，其中x是波形序列集矢量；
[0027]
步骤3：计算波形集的功率谱，根据期望频谱设置加权系数，对功率谱进行加权求和，从而构造频率阻带能量energy in the frequency stopband,efs目标函数ψ
efs
(x)，以描述波形集在频率阻带内的能量；
[0028]
步骤4：将步骤2中的wisl目标函数ψ
wisl
(x)和步骤3中的efs目标函数ψ
efs
(x)进行加权求和，以构造联合目标函数，以波形序列集x为变量，在波形序列集x恒模约束下，建立联合优化问题；
[0029]
步骤5：采用ccm算法求解所建立的优化问题：首先对所建立的优化问题进行等效
变换，在目标函数中引入两个常数，保证ccm算法收敛；然后按照ccm算法的投影projection、梯度descent和回缩retraction这三个步骤求解联合优化问题，计算出当前迭代次数下优化变量的解；最后进行迭代循环求解，直到迭代终止条件得到满足；
[0030]
其中，投影projection步骤为计算算法所需的黎曼梯度；梯度descent步骤是以黎曼梯度为搜索方向，按照梯度下降的方式计算更新后的优化变量，并利用armijo线性搜索方法求解所需的合适步长；回缩retraction步骤是将梯度下降更新后的优化变量映射到复圆上，以保证优化变量的恒模约束。
[0031]
步骤1中所述确定期望频谱的通带和阻带是指将未被其它电子设备占用的雷达可利用频带确定为通带ω
p
，将其它电子设备所占用的频带以及存在同频干扰的频带确定为阻带ωs，并假设波形序列频谱的频率范围为f，则有f＝ω
p
∪ωs。
[0032]
步骤2中所述构造波形序列集的wisl目标函数ψ
wisl
(x)，具体步骤为：
[0033]
步骤2.1、定义一个复恒模波形序列集x，该序列集包含m个波形序列，且每个波形序列长度为n；因此波形序列集表示为l＝mn，其中xm＝[[xm]1,[xm]2,
…
,[xm]n]
t
，|[xm]n|＝1，m＝1,2,
…
,m，n＝1,2,
…
,n，[xm]n表示矢量xm的第n个元素，同时在波形序列集中，单个波形序列表示为xm＝jmx，其中jm＝[0n×
(m-1)n
,in,0n×
(m-m)n
]；
[0034]
步骤2.2、波形序列集x中各波形序列{xi}
i＝1,...,m
的相关函数表示为：
[0035][0036]
其中，uk∈rn×n表示第k条对角线上元素都为1，其他元素为0的矩阵，即：
[0037][0038]
步骤2.3、则波形序列集的wisl目标函数ψ
wisl
(x)可表示为：
[0039][0040]
其中，wk＝w-k
,k＝0,
…
,n-1表示自相关或者互相关的加权系数，取值为0或者1，矩阵l的具体形式为：
[0041][0042]
步骤3中所述构造波形序列集的efs目标函数ψ
efs
(x)，具体步骤为：
[0043]
步骤3.1、波形序列集中第m个波形的频谱由下式进行计算：
[0044][0045]
其中，表示傅里叶变换矩阵fh第h行中前n个元素；矩阵fh定义为：
[0046][0047]
步骤3.2、由第m个波形序列xm的频谱fm，计算该波形序列的功率谱为：
[0048][0049]
其中表示哈达玛乘积；利用式xm＝jmx，式(12)中的功率谱pm进一步写为：
[0050][0051]
步骤3.3、波形序列集的efs可以用加权系数wf(h)来描述，则正交稀疏频率波形序列集的efs目标函数ψ
efs
(x)表示为：
[0052][0053]
其中，efs的加权系数wf(h)和矩阵p
osf
的具体形式分别为
[0054][0055][0056][0057]
步骤4中所述建立联合优化问题，具体为：
[0058]
将步骤2中所建立的目标函数ψ
wisl
(x)和步骤3中所建立的目标函数ψ
efs
(x)进行加权求和，得到联合代价函数其中μ∈[0,1]为权重因子，用来调节波形序列集自相关旁瓣特性以及稀疏频谱特性之间的权重；于是，以序列集矢量x为变量，在波形序列集恒模约束下，建立如下优化问题：
[0059][0060]
其中，矩阵m(x)＝(1-μ)l(x)+μp
osf
。
[0061]
步骤5中所述采用ccm算法求解所建立的优化问题(17)，具体步骤为：
[0062]
步骤5.1、为保证算法的收敛性，引入两个常数γ和使得本次迭代映射回复圆上的优化变量的目标函数ψ(x
(l+1)
)小于等于上次迭代映射回复圆前的优化变量的目标函数其中，表示第l次迭代未映射回复圆上的优化变量，x
(l+1)
表示第l+1次迭代映射回复圆后的优化变量，将问题(17)转换为以下等价问题：
[0063][0064]
其中，xhxxhx＝m2n2，xhx＝mn；
[0065]
步骤5.2、对常数γ,求解：
[0066]
将式(18)中m(x)＝(1-μ)l(x)+μp
osf
展开，合并同阶次项；将问题(18)化简为：
[0067][0068]
其中
[0069][0070][0071]
并且，x＝xxh，
[0072]
为保证ccm算法的收敛性，需利用下面引理1、引理2分别求解常数γ和的取值范围；
[0073]
引理1：设λ
max
(b)为半正定矩阵的最大特征值，若γ满足：
[0074][0075]
则
[0076]
引理2：设λ
max
(p
osf
)为半正定矩阵p
osf
的最大特征值，若满足：
[0077][0078]
则
[0079]
在式(22)中γ和式(23)中的取值范围下，有于是算法收敛；
[0080]
由引理1、引理2可知，要求解常数γ和的取值范围，需求解λ
max
(b)、λ
max
(p
osf
)的上界，得到λ
max
(b)≤n，λ
max
(p
osf
)≤2n；
[0081]
所述λ
max
(b)≤n的求解过程如下：
[0082]
矩阵b是实对称元素非负的矩阵，则：
[0083]
b≤diag(b
·
1)
ꢀꢀ
(24)
[0084]
其中，向量的元素全为1；由式(24)可得其中从而可将λ
max
(b)上界的求解转化为的求解；
[0085]
将进一步表示为：
[0086][0087]
由于则矩阵的最大特征值为：
[0088][0089]
从而可得到
[0090]
所述λ
max
(p
osf
)≤2n的求解过程如下：
[0091]
利用选择矩阵jm＝[0n×
(m-1)n
,in,0n×
(m-m)n
]的性质，将式(16)中的p
osf
重新写为：
[0092][0093]
其中，blkdiag{
·
}表示块对角矩阵；矩阵s∈cn×n定义为：
[0094][0095]
其中，wf＝[wf(1),wf(2),
…
,wf(2n)]
t
；
[0096]
由式(27)可知，p
osf
为对角分块矩阵，其特征值等于内部块状矩阵s的特征值；若用λ(s)表示矩阵s的特征值，则有λ(p
osf
)＝λ(s)；
[0097]
而根据式(28)，可写出矩阵s的特征值和特征向量之间的关系如下
[0098][0099]
其中，α为其特征值λ(s)对应的特征向量；在式(29)两边同时左乘有：
[0100][0101]
将式(30)中的当作新的特征向量，可知即
矩阵s的特征值与矩阵的特征值相同；为求解利用如下引理3；
[0102]
引理3：假设矩阵a，b为n
×
n维的半正定的厄密特矩阵，将矩阵a、b及ab的特征值递增排序，并写为和且i值越大，所表示的特征值越大；则有λi(ab)≤λn(b)λi(a),i＝1,2,
…
,n成立；
[0103]
由于矩阵和diag(wf)都是半正定的厄密特矩阵，令i＝n，由引理3可知：
[0104][0105]
为求解利用如下引理4；
[0106]
引理4：关于m
×
n(n≥m)矩阵a与n
×
m矩阵b乘积的特征值：
[0107]
①
若λ是矩阵乘积ab的特征值，则λ也是矩阵ba的特征值；
[0108]
②
若λ≠0是矩阵乘积ba的特征值，则λ也是矩阵ab的特征值；
[0109]
③
若λ1,λ2,
…
,λm是矩阵乘积ab的特征值，则矩阵乘积ba的n个特征值为λ1,
…
,λm,0,...,0；
[0110]
由引理4得到
[0111]
进一步地，有由此得到：
[0112][0113]
由式(32)可知，λ
max
(p
osf
)的上界为λ
p
＝2n；
[0114]
因此，将λ
max
(b)和λ
max
(p
osf
)的上界值代入式(22)和式(23)中，可选定γ和的值为：
[0115][0116][0117]
步骤5.3、将式(17)中的联合优化问题转换为式(18)中的等价问题后，根据ccm算法思想，采用projection-descent-retraction三步进行求解，具体如下：
[0118]
projection：求解目标函数的黎曼梯度；根据式(18)中目标函数，求解第l次迭代时的欧氏空间负梯度η
(l)
：
[0119][0120]
其中矩阵
[0121]
由η
(l)
可计算目标函数第l次迭代的黎曼梯度为：
[0122][0123]
式(36)中的矩阵l维度较高，且难以直接计算，因此通过以下步骤对其进行计算：
[0124]
由式(9)中矩阵l的定义，矩阵l可以重新表示为：
[0125][0126]
其中，矩阵块l
i,j
可以表示为：
[0127][0128]
对于矩阵块l
i,j
，利用下面引理5进行计算；
[0129]
引理5：定义一个长度为2n的复数矢量由中的元素可构造一个厄密特托普利茨hermitian toeplitz矩阵t，如下：
[0130][0131]
矩阵t由fft计算得到，即其中fft矩阵fh的定义如式(11)所示，f
1:n,:
表示矩阵f的前n行构成的子矩阵；定义则矩阵t的最大特征值和最小特征值满足下列条件：
[0132][0133][0134]
其中表示矢量的第j个元素；
[0135]
由式(38)可知矩阵l
i,j
为一个厄密特托普利茨矩阵，根据引理5，矩阵l
i,j
可以表示为：
[0136][0137]
其中，
[0138][0139][0140][0141]
同时，式(45)中的相关函数r
i,j
可以利用维纳-辛钦定理快速求解，即：
[0142][0143]
其中，向量0∈rn×1为元素全为0的列向量；
[0144]
descent：所得到的黎曼梯度为目标函数值下降的搜索方向；根据梯度下降思想，在切平面上更新得到第l次迭代的优化变量为：
[0145][0146]
其中，β
(l)
为ccm算法所需步长，步长的具体求解方法为：
[0147]
首先，求解满足下式的最小的第l次迭代整数m
(l)
≥0：
[0148][0149]
其中，τ≥0，σ∈(0,1)为armijo线性搜索方法的参数；
[0150]
得到ccm算法所需的步长为
[0151]
retraction：根据式(47)求得的矢量并不满足恒模约束条件，即不在联合优化问题中恒模约束所构成的复圆流形上；为得到恒模波形序列，利用下式进一步将矢量映射回复圆流形上：
[0152][0153]
执行完上述projection-descent-retraction三个步骤，便完成了第l次迭代求解；然后，令l＝l+1，进入下一次迭代，依此循环，直至满足迭代终止条件停止。
[0154]
所述迭代终止条件为||x
(l+1)-x
(l)
||2≤ε，其中ε为误差精度门限。
[0155]
与现有技术相比，本发明的有益效果为：
[0156]
(1)本发明以波形序列集的wisl和efs为优化目标，能够设计出长度和数目不受限制的恒模序列集，该波形序列集的自相关和互相关函数具备较低的相关旁瓣，逼近正交波形序列集的相关性质，并且在设定的频率阻带内具有较小的频谱功率。
[0157]
(2)本发明首次利用ccm算法来设计mimo雷达正交稀疏频率波形序列集，在每次迭
代中能够直接满足波形序列的恒模约束；迭代过程选取目标函数最小化的最快方向，保证了算法的收敛性。相比于已有的优化算法，本发明提出的ccm算法具有更低的相关旁瓣、更快的收敛速度和更强的稳定性。
[0158]
(3)本发明利用armijo线性搜索方法来求解ccm算法所需的合适步长，并对求解ccm算法所需的步长和矩阵相乘等运算进行加速处理，充分利用fft运算，降低了算法复杂度，提高了计算效率。
[0159]
(4)本发明所提方法可由正交稀疏频率波形序列集设计推广应用于无频谱约束的部分旁瓣抑制的正交波形序列集设计；且相对于该种情况下已有的wecan算法、mm算法，本发明算法所设计的部分旁瓣抑制的正交波形序列集具有更低的自相关旁瓣、互相关旁瓣和更快的收敛性能。
附图说明
[0160]
下面结合附图和具体实施例对本发明做进一步详细说明。
[0161]
图1为稀疏频率波形的频谱图。
[0162]
图2为本发明ccm算法的几何解释
[0163]
图3为本发明方法流程图。
[0164]
图4为本发明仿真实验1中正交稀疏频率波形序列集自相关。
[0165]
图5为本发明仿真实验1中正交稀疏频率波形序列集互相关。
[0166]
图6为本发明仿真实验1中正交稀疏频率波形序列集的psd。
[0167]
图7为本发明仿真实验1中算法在不同波形序列长度的算法运行时间。
[0168]
图8为本发明仿真实验2中部分旁瓣抑制的正交波形序列集自相关。
[0169]
图9为本发明仿真实验2中部分旁瓣抑制的正交波形序列集互相关。
[0170]
图10为本发明仿真实验2中代价函数随时间变化曲线。
具体实施方式
[0171]
下面将结合实施例对本发明的实施方案进行详细描述，但是本领域的技术人员将会理解，下列实施例仅用于说明本发明，而不应视为限制本发明的范围。
[0172]
图3给出了本发明方法的流程图，参考图3，本发明提供的一种基于ccm算法的mimo雷达正交稀疏频率波形序列集设计方法，包括以下步骤：
[0173]
步骤1：根据实时频谱监测系统(rtsms)监测到的频谱环境，划定可用频谱范围和不可用频谱范围，从而确定期望频谱的通带和阻带；
[0174]
其中，确定期望频谱的通带和阻带是指未被其它电子设备占用的雷达可利用频带为通带ω
p
，将其它电子设备所占用的频带以及存在同频干扰的频带确定为阻带ωs。并假设波形序列频谱的频率范围为f，则有f＝ω
p
∪ωs。
[0175]
步骤2：根据mimo雷达发射正交稀疏频率波形序列集低自相关旁瓣和互相关旁瓣要求，构造加权积分旁瓣电平(wisl)目标函数ψ
wisl
(x)，以描述波形集的加权积分旁瓣水平；
[0176]
(2.1)定义一个包含m个波形序列、每个波形序列长度为n的复恒模波形序列集
其中xm＝[[xm]1,[xm]2,
…
,[xm]n]
t
，|[xm]n|＝1,m＝1,2,
…
,m，n＝1,2,
…
,n,l＝mn。在波形序列集中，单个波形序列可以表示成xm＝jmx，其中，jm＝[0n×
(m-1)n
,in,0n×
(m-m)n
]。
[0177]
(2.2)波形集x中各波形序列{xi}
i＝1,
…
,m
的相关函数可表示为：
[0178][0179]
其中，uk∈rn×n表示第k条对角线上元素都为1，其他元素为0的矩阵，即：
[0180][0181]
(2.3)则波形序列集的wisl目标函数可表示为：
[0182][0183]
其中，wk＝w-k
表示自相关或者互相关的加权系数，取值为0或者1。矩阵l(x)的具体形式为：
[0184][0185]
步骤3：计算波形集的功率谱，根据期望频谱设置加权系数，对功率谱进行加权求和，将功率谱的加权求和表达式转化为以波形序列集矢量为变量的二次函数形式，从而构造频率阻带能量(efs)目标函数ψ
efs
(x)，以描述波形集在频率阻带内的能量；
[0186]
(3.1)波形序列集中第m个波形的频谱可由下式进行计算：
[0187][0188]
其中，表示傅里叶变换矩阵fh第h行中前n个元素。矩阵fh定义为：
[0189][0190]
(3.2)由第m个波形序列xm的频谱fm，可计算该波形序列的功率谱为：
[0191][0192]
其中表示哈达玛乘积。
[0193]
(3.3)利用式xm＝jmx，式(56)中的功率谱pm可进一步写为：
[0194][0195]
(3.4)波形序列集的efs可以用加权系数wf(h)加权求和，则正交稀疏频率波形序列集的efs目标函数ψ
efs
表示为：
[0196][0197]
其中，efs的加权系数wf(h)和矩阵p
osf
的具体形式分别为：
[0198][0199][0200]
步骤4：将步骤2中的目标函数ψ
wisl
(x)和步骤3中的目标函数ψ
efs
(x)进行加权求和，以构造联合目标函数ψ
osf
(x)，以波形序列集为变量，在波形集恒模约束下，建立联合优化问题。
[0201]
将步骤2中所构造的目标函数ψ
wisl
(x)和步骤3中所构造的目标函数ψ
efs
(x)进行加权求和，得到联合代价函数其中μ∈[0,1]为权重因子，用来调节波形序列集自相关旁瓣特性以及稀疏频谱特性之间的权重。于是，以序列集矢量x为变量，在波形序列集恒模约束下，可建立如下优化问题：
[0202][0203]
其中，矩阵m(x)＝(1-μ)l(x)+μp
osf
。
[0204]
步骤5：采用ccm算法求解所建立的优化问题。首先，在目标函数中引入两个常数对联合优化问题进行等效转化，保证ccm算法收敛。然后，按照ccm算法的projection、descent和retraction三个步骤求解联合优化问题，得到当前迭代次数下优化变量的解。其中，projection步骤为计算算法所需的黎曼梯度；descent步骤是以黎曼梯度为搜索方向，按照梯度下降的方式计算更新后的优化变量，并利用armijo线性搜索方法求解所需的合适步长；retraction步骤是将梯度下降更新后的优化变量映射到复圆上，以满足优化变量的恒模约束。最后，进行迭代循环求解，直到迭代终止条件得到满足。在该求解过程中，为降低计算复杂度，提出了一系列快速计算方法，包括：快速求解出两个常数的取值范围，并通过求解矩阵最大特征值的上界快速确定两个常数的取值；同时，利用armijo线性搜索方法求解ccm算法所需的合适步长，在保证ccm算法收敛情况下尽可能提高收敛性；并多次利用fft计算每次迭代所需的黎曼梯度中的高维矩阵。
[0205]
具体的求解过程如下：
[0206]
(5.1)为保证算法的收敛性，引入两个常数γ和使得本次迭代映射回复圆上的优化变量的目标函数ψ(x
(l+1)
)小于等于上次迭代映射回复圆前的优化变量的目标函数
(其中，表示第l次迭代未映射回复圆上的优化变量，x
(l+1)
表示第l+1次迭代映射回复圆后的优化变量)，可将问题(61)转换为以下等价问题：
[0207][0208]
其中，xhxxhx＝m2n2，xhx＝mn，因此优化问题(61)和问题(62)是等价的。
[0209]
(5.2)常数γ,的求解过程为：
[0210]
将式(62)中m(x)＝(1-μ)l(x)+μp
osf
展开，合并同阶次项(四次项和二次项)。可将式(62)化简为：
[0211][0212]
其中
[0213][0214][0215]
并且x＝xxh，
[0216]
为保证ccm算法的收敛性，首先利用引理1、引理2分别求解常数γ和的取值范围。
[0217]
引理1：设λ
max
(b)为半正定矩阵的最大特征值，若γ满足：
[0218][0219]
则
[0220]
引理2：设λ
max
(p
osf
)为半正定矩阵p
osf
的最大特征值，若满足：
[0221][0222]
则
[0223]
在式(66)中γ和式(67)中的取值范围下，有于是算法收敛。
[0224]
由引理1、引理2可知，要选取适当的γ和需计算λ
max
(b)和λ
max
(p
osf
)。由于矩阵和p
osf
∈c
mn
×
mn
维度较大，直接进行特征值分解求解最大特征值，会极大增加算法的计算复杂度。并且，由于b和p
osf
的维度与序列的长度及序列的个数成正相关，在序列长度增加或序列个数增多时，该问题更加突出。针对该问题，提出了一种快速计算方法求解λ
max
(b)、λ
max
(p
osf
)的上界，得到λ
max
(b)≤n，λ
max
(p
osf
)≤2n。
[0225]
λ
max
(b)≤n的求解过程如下：
[0226]
矩阵b是实对称元素非负的矩阵，则：
[0227]
b≤diag(b
·
1)
ꢀꢀ
(68)
[0228]
其中，向量的元素全为1。由式(68)可得其中从而可将λ
max
(b)上界的求解转化为的求解。
[0229]
可进一步表示为：
[0230][0231]
由于矩阵的最大特征值为：
[0232][0233]
从而可得到
[0234]
λ
max
(p
osf
)≤2n的具体求解过程如下：
[0235]
利用选择矩阵jm＝[0n×
(m-1)n
,in,0n×
(m-m)n
]的性质，可将式(60)中的p
osf
重新写为：
[0236][0237]
其中，blkdiag{
·
}表示块对角矩阵；矩阵s∈cn×n定义为：
[0238][0239]
其中，wf＝[wf(1),wf(2),
…
,wf(2n)]
t
。
[0240]
由式(71)可知，p
osf
为对角分块矩阵，其特征值等于内部块状矩阵s的特征值。若用λ(s)表示矩阵s的特征值，则有λ(p
osf
)＝λ(s)。
[0241]
而根据式(72)，可写出矩阵s的特征值和特征向量之间的关系，如下
[0242][0243]
其中，α为其特征值λ(s)对应的特征向量。
[0244]
在式(73)两边同时左乘有：
[0245][0246]
将式(74)中的当作新的特征向量，可知即矩阵s的特征值与矩阵的特征值相同。为求解可利用如下引理3。
[0247]
引理3：假设矩阵a，b为n
×
n维的半正定的厄密特(hermitian)矩阵，将矩阵a、b及ab的特征值递增排序，并写为且i值越大，所表示的特征值越大。则有λi(ab)≤λn(b)λi(a),i＝1,2,
…
,n成立。
[0248]
由于矩阵和diag(wf)都是半正定的厄密特(hermitian)矩阵，令i＝n，由引理3可知：
[0249][0250]
为求解可利用如下引理4。
[0251]
引理4：关于m
×
n(n≥m)矩阵a与n
×
m矩阵b乘积的特征值：
[0252]
①
若λ是矩阵乘积ab的特征值，则λ也是矩阵ba的特征值。
[0253]
②
若λ≠0是矩阵乘积ba的特征值，则λ也是矩阵ab的特征值。
[0254]
③
若λ1，λ2,
…
,λm是矩阵乘积ab的特征值，则矩阵乘积ba的n个特征值为λ1，...，λm，0，...，0。
[0255]
由引理4可得
[0256]
进一步地，有由此，可知：
[0257][0258]
由式(76)可知，λ
max
(p
osf
)的上界为λ
p
＝2n。
[0259]
因此，将λ
max
(b)和λ
max
(p
osf
)的上界值代入式(66)和式(67)中，可选定γ和的值为：
[0260][0261][0262]
(5.3)将式(61)中的联合优化问题转换为式(62)中的等价问题后，根据ccm算法思想，可采用projection-descent-retraction三步进行求解，具体如下：
[0263]
projection：求解目标函数的黎曼梯度。根据式(62)中目标函数，求解第l次迭代
时的欧氏空间负梯度η
(l)
：
[0264][0265]
其中矩阵
[0266]
由η
(l)
可计算目标函数第l次迭代的黎曼梯度为：
[0267]
式(80)中的矩阵l维度较高，且难以直接计算。针对此问题，可通过以下步骤对其进行快速计算：
[0268]
由式(53)中矩阵l的定义，矩阵l可以重新表示为：
[0269][0270]
其中，矩阵块l
i,j
可以表示为：
[0271][0272]
对于矩阵块l
i,j
，可利用下面引理5快速计算。
[0273]
引理5：定义一个长度为2n的复数矢量由中的元素可构造一个厄密特托普利茨(hermitian toeplitz)矩阵t，如下：
[0274][0275]
矩阵t亦可由fft快速计算得到，即其中fft矩阵fh的定义如式(55)所示，f
1:n,:
表示矩阵f的前n行构成的子矩阵。定义则矩阵t的最大
特征值和最小特征值满足下列条件：
[0276][0277][0278]
其中表示矢量的第j个元素。
[0279]
由式(82)可知矩阵l
i,j
为一个厄密特托普利茨(hermitian toeplitz)矩阵，根据引理5，矩阵l
i,j
可以表示为：
[0280][0281]
其中，
[0282][0283][0284][0285]
同时，式(89)中的相关函数r
i,j
可以利用维纳-辛钦定理快速求解，即：
[0286][0287]
其中，向量0∈rn×1为元素全为0的列向量。
[0288]
descent：所得到的黎曼梯度为目标函数值下降的搜索方向。根据梯度下降思想，在切平面上更新得到第l次迭代的优化变量为：
[0289][0290]
其中，β
(l)
为ccm算法所需步长，下面对其进行求解。
[0291]
优化问题(62)是关于优化变量x的四次函数，ccm算法下降的梯度难以选取。如果选择的步长β
(l)
较小，目标函数的最优解可能需要多次迭代才能找到。而选择较大的步长容易导致目标函数的发散。因此这里使用armijo线性搜索方法来确定ccm算法所需的合适步长β
(l)
，以保证算法良好的收敛性。步长的具体求解方法为：
[0292]
首先，确定第l次迭代整数m
(l)
≥0，m
(l)
需要满足以下不等式：
[0293]
其中，τ≥0，σ∈(0,1)为armijo线性搜索方法的参数。
[0294]
于是，ccm算法所需的步长为
[0295]
retraction：根据式(91)求得的矢量并不满足恒模约束条件，即不在联合
优化问题中恒模约束所构成的复圆流形上。为得到恒模波形序列，利用下式进一步将矢量映射回复圆流形上：
[0296][0297]
执行完上述projection-descent-retraction三个步骤，便完成了第l次迭代求解。然后，令l＝l+1，进入下一次迭代，依此循环，直至满足迭代终止条件停止。迭代终止条件可设为||x
(l+1)-x
(l)
||2≤ε，其中ε为误差精度门限。
[0298]
因此，本发明提出的基于ccm算法的mimo雷达正交稀疏频率波形序列集设计步骤可归纳为下表：
[0299][0300]
仿真实验
[0301]
本发明的效果可以通过以下具体实例进一步说明：
[0302]
仿真实验所得到的波形序列集性能指标选择如下：
[0303]
为了评估本发明方法有效性、所设计正交稀疏频率波形序列集良好的相关性和稀疏频率特性，定义两个关于波形序列集的性能评估指标，分别为wisl和平均通带阻带功率比(average passband stopband power ratio,apspr)。具体地，为保证波形序列集良好的相关性，wisl指标应尽可能地小；同时，为实现波形序列集的稀疏频率特性，apspr指标应尽可能地大。wisl和apspr可由下式来计算：
[0304]
[0305]
其中，p
p
为平均通带功率，ps为平均阻带功率。
1.仿真实验1：在5个归一化频率阻带[0.04,0.21]、[0.23,0.25]、[0.28,0.37]、[0.39,0.49]和[0.52,0.56]的约束下，利用ccm算法设计全部旁瓣抑制的正交稀疏频率波形序列集。
[0306]
仿真参数设置：
[0307]
波形序列集中序列个数为m＝2和m＝3，每个波形序列长度为n＝143。加权系数为μ＝0.935，自相关旁瓣和互相关旁瓣加权设置为wk＝1,k＝0,1,2,l,n-1，armijo线性搜索参数设置为τ＝1，σ＝0.1，迭代停止条件为：优化变量的误差精度门限满足ε＝10-3
。
[0308]
仿真结果：
[0309]
首先考虑序列个数m＝3的情况，利用ccm算法求解优化问题，并将本发明所采用的ccm算法与cia对比，其仿真结果如图4、图5、图6和图7所示。其中图4和图5分别为ccm算法、cia设计正交稀疏频率波形序列集的自相关函数和互相关函数。图4和图5中，ccm算法和cia均可设计较低旁瓣的正交稀疏频率波形序列集；且ccm算法和cia设计正交稀疏频率波形序列集的wisl分别为9.40db和9.42db。根据计算得到的wisl的值可知，本发明所提出的ccm算法优化得到的wisl值更低。图6为两种算法所优化的正交稀疏频率波形序列集中三个序列的psd。图6中灰色阴影区域为所设定的5个阻带区域，由图可知，经两种算法优化后，在设定的频率阻带区域，波形序列具备较低的能量。本发明ccm算法设计的apspr分别是21.76db，21.40db和21.53db；cia所设计三个波形序列的apspr分别是21.36db，18.94db和21.53db。由此可知本发明所提出的ccm算法优化得到的apspr值更高。
[0310]
为了对比更为清晰，考虑波形序列集的序列个数m＝2的情况，并将序列个数为m＝2和m＝3时，两种算法设计正交稀疏频率波形序列集的wisl和apspr值记录在表1中。在表1中，当序列个数为m＝2和m＝3时，本发明所采用的ccm算法在自相关、互相关旁瓣抑制和阻带能量抑制上性能均优于cia。由此可知，本发明算法优化得到的正交稀疏频率波形序列集具有更低的相关旁瓣特性以及更好的稀疏频率特性，这验证了本设计方法的优越性。
[0311]
表1全部旁瓣抑制的正交稀疏频率波形序列集性能对比
[0312]
本实验进一步对比了ccm算法和cia的收敛速度。图7为两种算法在每个波形序列长度n＝24,25,26,27,28时设计正交稀疏频率波形序列集所需的时间。参数设置与上述实验相同。图中横坐标表示每个波形的序列长度。由图可知，两种算法的运行时间都随着波形序列长度的增加而增加。然而，在相同的波形序列长度下，本发明所采用的ccm算法设计正交
稀疏频率波形序列集所需的时间小于cia。因此，本发明采用ccm算法优化设计正交稀疏波形序列集的收敛速度大于cia。这是由于ccm算法的每次迭代过程可快速计算，相比于cia中的矩阵乘法运算、矩阵开方运算和奇异值分解，大大降低了算法的复杂度。
[0313]
仿真实验2：考虑去掉频谱约束，利用ccm算法设计部分旁瓣抑制的正交波形序列集。
[0314]
仿真参数设置：
[0315]
波形序列集中序列个数为m＝3，每个波形序列长度为n＝143。加权系数为μ＝0，自相关旁瓣和互相关旁瓣加权设置为：
[0316][0317]
armijo线性搜索参数设置为τ＝1，σ＝0.2，迭代停止条件为：优化变量的误差精度门限满足ε＝10-4
。
[0318]
利用ccm算法求解该优化问题，得到满足约束条件的部分旁瓣抑制的正交波形序列集，并将仿真结果与mm算法、wecan(见背景技术第一段中参考文献)所得到的仿真结果对比。其仿真结果如图8、图9和图10所示，其中图8和图9分别为ccm算法、wecan和mm算法三种算法设计正交波形序列集的自相关函数和互相关函数。如图8和图9所示，在旁瓣抑制范围内，ccm算法、wecan和mm算法设计的正交波形序列集的自相关旁瓣约为-95db、-50db和-70db，互相关旁瓣值和自相关旁瓣值基本相同，wisl分别为-70.25db，-24.82db和-44.30db。由此可知，相比于wecan和mm算法，本发明利用ccm算法所设计的正交波形序列集在指定区域内具有更低的自相关旁瓣和互相关旁瓣。
[0319]
本实验进一步对比了三种算法的收敛速度。图10为三种算法的代价函数随迭代时间变化的曲线，由图10可知，三种算法抑制的代价函数随着迭代时间的增加而减小。但是在相同的迭代时间下，ccm算法所优化的代价函数都低于wecan和mm算法，由此可知，本发明方法对于自相关旁瓣和互相关旁瓣抑制更高效，并且具有更快的收敛速度。
[0320]
最后应说明的是：以上实施例仅用以说明本发明的技术方案，而非对其限制；尽管参照前述实施例对本发明进行了详细的说明，本领域的普通技术人员应当理解：其依然可以对前述各实施例所记载的技术方案进行修改，或者对其中部分技术特征进行等同替换；而这些修改或者替换，并不使相应技术方案的本质脱离本发明各实施例技术方案的精神和范围。

技术特征：
1.基于ccm算法的mimo雷达正交稀疏频率波形序列集设计方法，其特征在于，包括以下步骤：步骤1：根据实时频谱监测系统real time spectrum monitor system,rtsms监测到的频谱环境，划定可用频谱范围和不可用频谱范围，从而确定期望频谱的通带和阻带；步骤2：根据mimo雷达发射正交稀疏频率波形序列集低自相关旁瓣和互相关旁瓣要求，构造加权积分旁瓣电平weighted integrated sidelobe level,wisl目标函数ψ
wisl
(x)，以描述波形集的自相关和互相关旁瓣水平，其中x是波形序列集矢量；步骤3：计算波形集的功率谱，根据期望频谱设置加权系数，对功率谱进行加权求和，从而构造频率阻带能量energy in the frequency stopband,efs目标函数ψ
efs
(x)，以描述波形集在频率阻带内的能量；步骤4：将步骤2中的wisl目标函数ψ
wisl
(x)和步骤3中的efs目标函数ψ
efs
(x)进行加权求和，以构造联合目标函数，以波形序列集x为变量，在波形序列集x恒模约束下，建立联合优化问题；步骤5：采用ccm算法求解所建立的优化问题：首先对所建立的优化问题进行等效变换，在目标函数中引入两个常数，保证ccm算法收敛；然后按照ccm算法的投影projection、梯度descent和回缩retraction这三个步骤求解联合优化问题，计算出当前迭代次数下优化变量的解；最后进行迭代循环求解，直到迭代终止条件得到满足；其中，投影projection步骤为计算算法所需的黎曼梯度；梯度descent步骤是以黎曼梯度为搜索方向，按照梯度下降的方式计算更新后的优化变量，并利用armijo线性搜索方法求解所需的合适步长；回缩retraction步骤是将梯度下降更新后的优化变量映射到复圆上，以保证优化变量的恒模约束。2.根据权利要求1所述的基于ccm算法的mimo雷达正交稀疏频率波形序列集设计方法，其特征在于，步骤1中所述确定期望频谱的通带和阻带是指将未被其它电子设备占用的雷达可利用频带确定为通带ω
p
，将其它电子设备所占用的频带以及存在同频干扰的频带确定为阻带ω
s
，并假设波形序列频谱的频率范围为f，则有f＝ω
p
∪ω
s
。3.根据权利要求1所述的基于ccm算法的mimo雷达正交稀疏频率波形序列集设计方法，其特征在于，步骤2中所述构造波形序列集的wisl目标函数ψ
wisl
(x)，具体步骤为：步骤2.1、定义一个复恒模波形序列集x，该序列集包含m个波形序列，且每个波形序列长度为n；因此波形序列集表示为l＝mn，其中x
m
＝[[x
m
]1,[x
m
]2,
…
,[x
m
]
n
]
t
，|[x
m
]
n
＝1，m＝1,2,
…
,m，n＝1,2,
…
,n，[x
m
]
n
表示矢量x
m
的第n个元素，同时在波形序列集中，单个波形序列表示为x
m
＝j
m
x，其中j
m
＝[0
n
×
(m-1)n
,i
n
,0
n
×
(m-m)n
]；步骤2.2、波形序列集x中各波形序列{x
i
}
i＝1,
…
,m
的相关函数表示为：其中，u
k
∈r
n
×
n
表示第k条对角线上元素都为1，其他元素为0的矩阵，即：
步骤2.3、则波形序列集的wisl目标函数ψ
wisl
(x)可表示为：其中，w
k
＝w-k
,k＝0,,n-1表示自相关或者互相关的加权系数，取值为0或者1，矩阵l的具体形式为：4.根据权利要求1所述的基于ccm算法的mimo雷达正交稀疏频率波形序列集设计方法，步骤3中所述构造波形序列集的efs目标函数ψ
efs
(x)，具体步骤为：步骤3.1、波形序列集中第m个波形的频谱由下式进行计算：其中，表示傅里叶变换矩阵f
h
第h行中前n个元素；矩阵f
h
定义为：步骤3.2、由第m个波形序列x
m
的频谱f
m
，计算该波形序列的功率谱为：其中表示哈达玛乘积；利用式x
m
＝j
m
x，式(7)中的功率谱p
m
进一步写为：步骤3.3、波形序列集的efs可以用加权系数w
f
(h)来描述，则正交稀疏频率波形序列集的efs目标函数ψ
efs
(x)表示为：其中，efs的加权系数w
f
(h)和矩阵p
osf
的具体形式分别为
5.根据权利要求1所述的基于ccm算法的mimo雷达正交稀疏频率波形序列集设计方法，其特征在于，步骤4中所述建立联合优化问题，具体为：将步骤2中所建立的目标函数ψ
wisl
(x)和步骤3中所建立的目标函数ψ
efs
(x)进行加权求和，得到联合代价函数其中μ∈[0,1]为权重因子，用来调节波形序列集自相关旁瓣特性以及稀疏频谱特性之间的权重；于是，以序列集矢量x为变量，在波形序列集恒模约束下，建立如下优化问题：其中，矩阵m(x)＝(1-μ)l(x)+μp
osf
。6.根据权利要求1所述的基于ccm算法的mimo雷达正交稀疏频率波形序列集设计方法，其特征在于，步骤5中所述采用ccm算法求解所建立的优化问题(12)，具体步骤为：步骤5.1、为保证算法的收敛性，引入两个常数γ和使得本次迭代映射回复圆上的优化变量的目标函数ψ(x
(l+1)
)小于等于上次迭代映射回复圆前的优化变量的目标函数其中，表示第l次迭代未映射回复圆上的优化变量，x
(l+1)
表示第l+1次迭代映射回复圆后的优化变量，将问题(12)转换为以下等价问题：其中，x
h
xx
h
x＝m2n2，x
h
x＝mn；步骤5.2、对常数γ,求解：将式(13)中m(x)＝(1-μ)l(x)+μp
osf
展开，合并同阶次项；将问题(13)化简为：其中其中
并且，x＝xx
h
，为保证ccm算法的收敛性，需利用下面引理1、引理2分别求解常数γ和的取值范围；引理1：设λ
max
(b)为半正定矩阵的最大特征值，若γ满足：则引理2：设λ
max
(p
osf
)为半正定矩阵p
osf
的最大特征值，若满足：则在式(17)中γ和式(18)中的取值范围下，有于是算法收敛；由引理1、引理2可知，要求解常数γ和的取值范围，需求解λ
max
(b)、λ
max
(p
osf
)的上界，得到λ
max
(b)≤n，λ
max
(p
osf
)≤2n；所述λ
max
(b)≤n的求解过程如下：矩阵b是实对称元素非负的矩阵，则：其中，向量的元素全为1；由式(19)可得其中从而可将λ
max
(b)上界的求解转化为的求解；将进一步表示为：由于则矩阵的最大特征值为：从而可得到所述λ
max
(p
osf
)≤2n的求解过程如下：利用选择矩阵j
m
＝[0
n
×
(m-1)n
,i
n
,0
n
×
(m-m)n
]的性质，将式(11)中的p
osf
重新写为：
其中，blkdiag{
·
}表示块对角矩阵；矩阵s∈c
n
×
n
定义为：其中，w
f
＝[w
f
(1),w
f
(2),
…
,w
f
(2n)]
t
；由式(22)可知，p
osf
为对角分块矩阵，其特征值等于内部块状矩阵s的特征值；若用λ(s)表示矩阵s的特征值，则有λ(p
osf
)＝λ(s)；而根据式(23)，可写出矩阵s的特征值和特征向量之间的关系如下其中，α为其特征值λ(s)对应的特征向量；在式(24)两边同时左乘有：将式(25)中的当作新的特征向量，可知即矩阵s的特征值与矩阵的特征值相同；为求解利用如下引理3；引理3：假设矩阵a，b为n
×
n维的半正定的厄密特矩阵，将矩阵a、b及ab的特征值递增排序，并写为和且i值越大，所表示的特征值越大；则有λ
i
(ab)≤λ
n
(b)λ
i
(a),i＝1,2,,n成立；由于矩阵和diag(w
f
)都是半正定的厄密特矩阵，令i＝n，由引理3可知：为求解利用如下引理4；引理4：关于m
×
n(n≥m)矩阵a与n
×
m矩阵b乘积的特征值：
①
若λ是矩阵乘积ab的特征值，则λ也是矩阵ba的特征值；
②
若λ≠0是矩阵乘积ba的特征值，则λ也是矩阵ab的特征值；
③
若λ1,λ2,,λ
m
是矩阵乘积ab的特征值，则矩阵乘积ba的n个特征值为λ1,
…
,λ
m
,0,
…
,0；由引理4得到进一步地，有由此得到：由式(27)可知，λ
max
(p
osf
)的上界为λ
p
＝2n；
因此，将λ
max
(b)和λ
max
(p
osf
)的上界值代入式(17)和式(18)中，可选定γ和的值为：的值为：步骤5.3、将式(12)中的联合优化问题转换为式(13)中的等价问题后，根据ccm算法思想，采用projection-descent-retraction三步进行求解，具体如下：projection：求解目标函数的黎曼梯度；根据式(13)中目标函数，求解第l次迭代时的欧氏空间负梯度η
(l)
：其中矩阵由η
(l)
可计算目标函数第l次迭代的黎曼梯度为：式(31)中的矩阵l维度较高，且难以直接计算，因此通过以下步骤对其进行计算：由式(4)中矩阵l的定义，矩阵l可以重新表示为：其中，矩阵块l
i,j
可以表示为：对于矩阵块l
i,j
，利用下面引理5进行计算；引理5：定义一个长度为2n的复数矢量由中的元素可构造一个厄密特托普利茨hermitian toeplitz矩阵t，如下：
矩阵t由快速傅里叶变换fast fourier transform,fft计算得到，即其中fft矩阵f
h
的定义如式(6)所示，f
1:n,:
表示矩阵f的前n行构成的子矩阵；定义则矩阵t的最大特征值和最小特征值满足下列条件：则矩阵t的最大特征值和最小特征值满足下列条件：其中表示矢量的第j个元素；由式(33)可知矩阵l
i,j
为一个厄密特托普利茨矩阵，根据引理5，矩阵l
i,j
可以表示为：其中，其中，其中，同时，式(40)中的相关函数r
i,j
可以利用维纳-辛钦定理快速求解，即：其中，向量0∈r
n
×1为元素全为0的列向量；descent：所得到的黎曼梯度为目标函数值下降的搜索方向；根据梯度下降思想，在切平面上更新得到第l次迭代的优化变量为：其中，β
(l)
为ccm算法所需步长，步长的具体求解方法为：首先，求解满足下式的最小的第l次迭代整数m(
l
)≥0：其中，τ≥0，σ∈(0,1)为armijo线性搜索方法的参数；
得到ccm算法所需的步长为retraction：根据式(42)求得的矢量并不满足恒模约束条件，即不在联合优化问题中恒模约束所构成的复圆流形上；为得到恒模波形序列，利用下式进一步将矢量映射回复圆流形上：执行完上述projection-descent-retraction三个步骤，便完成了第l次迭代求解；然后，令l＝l+1，进入下一次迭代，依此循环，直至满足迭代终止条件停止。7.根据权利要求6所述的基于ccm算法的mimo雷达正交稀疏频率波形序列集设计方法，其特征在于，所述迭代终止条件为||x
(l+1)-x
(l)
||2≤ε，其中ε为误差精度门限。

技术总结
本发明属于雷达技术领域，具体公开了一种基于复圆流形(Complex Circle Manifold,CCM)算法的MIMO雷达正交稀疏频率波形序列集（Complementary Sparse Frequency Waveform Sequence Set,OSFWSS）设计方法，其步骤包括：根据MIMO雷达OSFWSS低相关旁瓣和较小阻带频谱能量要求，构造加权积分旁瓣电平(Weighted Integrated Sidelobe Level,WISL)目标函数和频率阻带能量(Energy in the Frequency Stopband,EFS)目标函数，以WISL和EFS的加权为总目标函数，在波形序列恒模约束下建立联合优化问题；采用CCM算法求解该优化问题，在求解过程中，提出了一系列快速计算方法。本发明首次利用CCM算法对OSFWSS进行优化设计，该方法易于执行，算法复杂度低，相比于循环迭代算法(Cyclic Iterative Algorithm,CIA)具有更好的优化性能和更快的收敛速度；同时，该方法可由OSFWSS设计推广应用于无频谱约束的部分旁瓣抑制的正交波形序列集设计。瓣抑制的正交波形序列集设计。瓣抑制的正交波形序列集设计。


技术研发人员：洪升 周汝萌 付勇强 许朋振 李铭晖
受保护的技术使用者：南昌大学
技术研发日：2023.03.31
技术公布日：2023/7/12