一种基于MOD-FMLM-SBL算法的图像压缩感知重构方法

一种基于mod-fmlm-sbl算法的图像压缩感知重构方法
技术领域
1.本发明属于压缩感知技术，具体涉及图像压缩感知重构方法。
技术背景
2.在图像处理中，图像在傅里叶变换或者小波变换等，均能表现出较好的稀疏特性，压缩感知技术正是利用这种特性，将图像进行压缩、传递、恢复，从而大大地降低了硬件的要求，同时重构图像的精度也有所提高。单像素相机就是一个很好的应用，赖斯大学采用压缩感知技术大规模的减少了测量矩阵的量级，降低了计算复杂度、减少了存储空间、保证了图像的质量。同时该相机结合拜耳滤色器，同样可以拍摄出彩色图像：压缩感知技术在医学上也有重要的应用，现实生活中，由于生理和物理上的限制，核磁共振的数据采集费用极其昂贵，将压缩感知技术运用其中，可以有效的降低采集数据的数量，得到少而有效的数据，从而减轻患者的医疗费用：在高光谱图像处理过程中，压缩感知技术也得到了应用，当信号采集器接收到地面反射回来的信号，由于不同物质对于不同频率的波反射情况有所不同，结合所有物质反射的波形成相应的测量矩阵，从而实现对高光谱图像的分类。
3.稀疏贝叶斯学习(sparse bayesian learning，sbl)算法是压缩感知重构的算法的重要组成部分。在sbl算法中，边缘似然函数的最优化通常是通过期望最大化em(expectation maximization)原理实现的。然而，基于em过程的稀疏贝叶斯学习sbl算法在每次迭代时伴随着矩阵的求逆过程。一般地，维度为n的方阵进行求逆运算的计算复杂度为o(n3)。因此，传统的sbl算法在处理数据时，随着数据维度的增加，计算复杂度将产生指数爆炸，极大地妨碍了sbl算法处理高维数据时的运算速度。于是，人们提出了许多快速sbl算法。
4.在基于快速边际似然最大化fmlm(fast marginal likelihood maximization)思想的快速sbl算法中，对信源向量引入噪声精度超参数β的估计结果会影响边缘似然函数以及支撑集的判定。然而，噪声精度超参数β较难处理，对它不合适的取值将极大地影响稀疏信号重构的性能。


技术实现要素：

5.本发明所要解决的技术问题是，提供一种能消除噪声精度参数取值对信源向量的影响的，能快速高效地完成稀疏信号重构的图像压缩感知方法。
6.本发明为解决上述技术问题所采用的技术方案是，一种基于mod-fmlm-sbl算法的图像压缩感知重构方法，包括以下步骤：
7.图像据采集步骤：数据采集方采集待传递图像并发送至数据发送方；
8.图像压缩步骤：数据发送方对待传递图像进行小波变换获取得到的小波系数，利用测量矩阵对小波系数进行压缩采样获得观测向量y；
9.图像传递步骤：数据发送方将观测向量y及对应的测量矩阵φ作为感知过程的输入，通过感知得到稀疏重构的小波系数，并将稀疏重构的小波系数发送至数据接收方从而
完成图像传递；
10.图像恢复步骤：数据接收方对稀疏重构的小波系数，通过逆小波变换恢复得到图像；
11.其中，感知过程具体为：
12.1)求得sbl算法中用于确定信源向量w的超参数向量α，其中α的第i个元素αi表示为：
[0013][0014]
αi＝∞，otherwise
[0015]
其中，m为观测向量y的长度，中间值si、qi、gi分别为：
[0016][0017][0018][0019]
α-i
为移除了α中第i个元素αi之后的超参数向量，c-i
为将中间量c中第i列移除后得到的矩阵，为观测矩阵φ的第i列，k为噪声精度gamma分布的逆尺度参数，中间量c＝i+φa-1
φ
t
，i为单位矩阵，a是大小为n*n的对角矩阵，其第i个对角元素为αi；
[0020]
2)将αi＝∞对应信源向量w的第i个元素更新为0，从而将对应观测矩阵φ中第i列删除，当依次对i＝1,2,
…
n完成步骤1)与步骤2)，即可得到一种高效的sbl算法；
[0021]
3)根据超参数向量α对信源向量w进行稀疏重构得到信源向量的估计值将信源向量的估计值作为稀疏重构的小波系数。
[0022]
本发明提出新的感知过程，利用积分将原有sbl算法中的噪声精度超参数β积出，以代替原有算法中为β寻找点估计的步骤，使得改进后的算法只关注超参数向量α的估计。
[0023]
本发明的有益效果是，消除了噪声精度参数取值对感知过程的影响，同时信源向量获得了更具稀疏诱导性的先验分布，并且感知过程通过有更低复杂度的计算方式实现，从而实现快速高效的稀疏信号重构，成功实现了性能更好的图像的压缩感知重构。
附图说明
[0024]
图1对数似然函数关于单个超参数的单调性示意图；
[0025]
图2图像为实施例中的重构结果。第一行为逆小波变换重构的图像；第二行为mod-fmlm-sbl算法重构的图像；第三行为fmlm-sbl算法重构的图像。
具体实施方式
[0026]
本发明基于快速边际似然最大化fmlm的思想，提出一种快速sbl算法，命名为mod-fmlm-sbl算法。该算法对信源向量引入噪声精度参数并利用积分将该参数积出，消除了噪声精度参数取值对算法的影响，同时信源向量获得了更具稀疏诱导性的先验分布。此外，mod-fmlm-sbl算法借助矩阵求逆引理，将重构过程中的矩阵求逆运算转换为具有更低复杂度的迭代更新公式实现，从而实现快速高效的稀疏信号重构。本发明将mod-fmlm-sbl算法应用到图像的重构中，成功实现了图像的压缩感知重构。
[0027]
一、推导过程如下：
[0028]
信源向量w的长度均为n，超参数向量α的长度也为n。
[0029]
在sbl算法模型中，信源向量w仅由超参数α控制，本发明mod-fmlm-sbl算法在其中加入噪声精度超参数β，有
[0030][0031]
其中，p(w∣α,β)表示在条件α,β下的w的概率分布；n为信源向量w的长度；wi表示w中的第i个元素；αi表示α中的第i个元素；表示wi满足均值为0，方差为的高斯分布；超参数β服从gamma分布，如下式所示
[0032]
p(β)＝gamma(β∣c,k)
[0033]
其中，c表示gamma分布的位置参数；k表示gamma分布的逆尺度参数。
[0034]
注意到上述框架与原始的sbl算法框架的唯一不同在于超参数β对信源向量的先验起到了控制。这种改进利于后续过程涉及的积分获得解析表达式。给定超参数α和观测向量y，信源向量w的似然函数可以写作：
[0035][0036]
其中，d表示微分算子；e为自然常数；m为观测向量y的长度，即观测矩阵φ的行数；γ为gamma函数；exp表示以自然常数e为底的指数函数；上标t表示转置；μ与∑为中间量，且表达式为
[0037]
μ＝∑φy
[0038]
∑＝(φ
t
φ+a)-1
[0039]
a为大小为n*n的对角矩阵，其第i个对角元素为αi。
[0040]
通过将超参数β积出可以发现，信源向量的似然函数为多维student-t分布。这种分布形式不仅更有利于得到信源向量的稀疏解，而且在处理观测向量的异常值时有更好的鲁棒性。
[0041]
将边缘似然函数p(y∣α，β)中的超参数β积出，得到新的边缘似然函数，有
[0042][0043]
其中，c为常数；中间量c＝i+φa-1
φ
t
；i为单位矩阵。利用fmlm思想，c可以分解为：
[0044][0045]
其中，c-i
为将c中第i列移除后得到的矩阵；为φ的第i列。运用矩阵的性质，矩阵c的行列式|c|和逆运算c-1
表示为如下形式：
[0046][0047][0048]
据此，将边缘似然函数写为
[0049][0050]
其中，α-i
为移除了α中第i个元素αi之后的超参数向量；中间量si、qi、gi定义如下
[0051][0052][0053][0054]
同样地，考虑对数似然函数对超参数α的偏导数，并令其为0，有
[0055][0056]
上式的解为
[0057][0058]
αi＝∞，otherwise
[0059]
此即为似然函数的驻点。根据数学知识，驻点不一定为函数极值点，为了探究这些驻点的性质，需要考虑似然函数的单调性。
[0060]
为计算方便，将与αi无关的项作替换，有
[0061][0062][0063][0064]
利用以上替换，对数似然函数对超参数α的二阶导数可以写作
[0065]
[0066]
对上式分别考虑前文求出的两个驻点。
[0067]
当时，注意到二阶导数等式右边分子中的第二项为0，有
[0068][0069]
可以看到，上式恒为负，因此似然函数l(αi)有唯一极大值。该极大值点即为第一个驻点。
[0070]
当αi＝∞时，似然函数的二阶及其他所有高阶导数在该点值都为0。但根据似然函数的一阶导可知，当αi→
∞时，对数似然函数一阶导的符号由决定。对u的分类讨论如下：
[0071]
(1)当u》0时，此时对数似然函数一阶导在αi＝∞时为负值，这表明当αi减小时，对数似然函数将逐渐增加到其唯一极大值，极大值点仍然为第一个驻点
[0072]
(2)当u《0时，此时对数似然函数在定义域上单调递增，αi＝∞为似然函数的极大值点。
[0073]
(3)当u＝0时，此时对数似然函数极大值点仍为第一个驻点。
[0074]
综上所述，对数似然函数关于单个超参数αi的单调性如图1所示。
[0075]
回顾sbl算法的分层先验模型可知，令αi＝∞等价于令wi＝0，从而可以将φ第i列(基函数)从观测矩阵φ中删除。因此，驻点公式控制了基函数的增减。对i＝1,2,
…
n依次进行上述操作，即可得到一种高效的sbl算法。
[0076]
二、基于上述的推导，本发明提出的一种基于mod-fmlm-sbl算法的图像压缩感知重构方法，包括以下步骤：
[0077]
图像据采集步骤：数据采集方采集待传递图像并发送至数据发送方；
[0078]
图像压缩步骤：数据发送方对待传递图像进行小波变换获取得到的小波系数，利用测量矩阵对小波系数进行压缩采样获得观测向量y；
[0079]
图像传递步骤：数据发送方将观测向量y及对应的测量矩阵φ作为感知过程的输入，通过感知得到稀疏重构的小波系数，并将稀疏重构的小波系数发送至数据接收方从而完成图像传递；
[0080]
其中，感知过程的具体为：
[0081]
1)求得sbl算法中用于确定信源向量w的超参数向量α，其中α的第i个元素αi表示为：
[0082][0083]
αi＝∞，otherwise
[0084]
其中，m为观测向量y的长度，中间值si、qi、gi分别为：
[0085]
[0086][0087][0088]
α-i
为移除了α中第i个元素αi之后的超参数向量，c-i
为将中间量c中第i列移除后得到的矩阵，为观测矩阵φ的第i列，k为gamma分布的尺度参数，中间量c＝i+φa-1
φ
t
，i为单位矩阵，a为大小为n*n的对角矩阵，其第i个对角元素为αi；
[0089]
2)将αi＝∞对应信源向量w的第i个元素更新为0，从而将对应观测矩阵φ中第i列删除，当依次对i＝1,2,
…
n完成步骤1)与步骤2)；
[0090]
3)根据超参数向量α对信源向量w进行稀疏重构得到信源向量的估计值将信源向量的估计值作为稀疏重构的小波系数。图像恢复步骤：数据接收方对稀疏重构的小波系数，通过逆小波变换恢复得到图像。
[0091]
三、仿真分析
[0092]
本实验通过图像重构验证算法的性能。实验使用混合压缩感知框架，将该框架应用在图像的小波变换上，小波变换采用“symmlet8”小波基，最粗糙尺度参数为3，最精细尺度参数为7。小波系数，即信源向量长度为n＝16320，观测向量长度取为m＝10672。图像观测矩阵φ均取自均匀球形分布，且大小为10672
×
16320。
[0093]
本实验对indor、mondrian以及lena等图像进行压缩感知重构，图像大小分别为256
×
256像素、512
×
512像素以及512
×
512像素，位深度均为8。这些图像在[3,4]等文献中被广泛用以评估sbl算法的性能，且可以在http://sparselab.stanford.edu/以及http://descai.ugr.es/cvg/adimagenes/等网站在线获取。
[0094]
实验采用fmlm-sbl算法作为对比。图像的重构结果如图2所示。其中，第一行展示了逆小波变换对三种图像的重构结果，且观测向量长度均取为m＝n＝16384，即线性(linear)重构，可以看作本发明中压缩感知重构算法能够达到的理论最佳效果。第二行为利用mod-fmlm-sbl算法重构的图像，可以看出，mod-fmlm-sbl算法高质量地重构了三种图像。第三行为fmlm-sbl算法的重构结果。
[0095]
本实验从归一化根均方误差(normalized root-mean-square error，nrmse)、达到收敛所需的运行时间、重构结果的稀疏度三个方面评价算法的重构表现，结果如表1所示。除线性重构外，各图像重构指标的最优值已加黑显示。可以看到，本发明提出的mod-fmlm-sbl算法在小幅度损失精度的代价下，大幅加快了算法的收敛速度，同时大幅降低了重构结果的稀疏度。
[0096]
表1fmlm-sbl算法与mod-fmlm-sbl算法对图像重构的性能对比
[0097]

技术特征：
1.一种基于mod-fmlm-sbl算法的图像压缩感知重构方法，其特征在于，包括以下步骤：图像据采集步骤：数据采集方采集待传递图像并发送至数据发送方；图像压缩步骤：数据发送方对待传递图像进行小波变换获取得到的小波系数，利用测量矩阵对小波系数进行压缩采样获得观测向量y；图像传递步骤：数据发送方将观测向量y及对应的测量矩阵φ作为感知过程的输入，通过感知得到稀疏重构的小波系数，并将稀疏重构的小波系数发送至数据接收方从而完成图像传递；图像恢复步骤：数据接收方对稀疏重构的小波系数，通过逆小波变换恢复得到图像；其中，感知过程具体为：1)求得mod-fmlm-sbl算法中用于确定信源向量w的超参数向量α，其中α中第i个元素α
i
表示为：其中，m为观测向量y的长度，中间值s
i
、q
i
、g
i
分别为：分别为：分别为：α-i
为移除了α中第i个元素α
i
之后的超参数向量，c-i
为将中间量c中第i列移除后得到的矩阵，为观测矩阵φ的第i列，k为噪声向量gamma分布的逆尺度参数，中间量c＝i+φa-1
φ
t
，i为单位矩阵，a是大小为n*n的对角矩阵，其第i个对角元素为α
i
；2)将α
i
＝∞对应信源向量w的第i个元素更新为0，从而将对应观测矩阵φ中第i列删除，当依次对i＝1,2,
…
n完成步骤1)与步骤2)；3)根据超参数向量α对信源向量w进行稀疏重构得到信源向量的估计值将信源向量的估计值作为稀疏重构的小波系数。

技术总结
本发明属于压缩感知技术，提供一种基于MOD-FMLM-SBL算法的图像压缩感知重构方法，包括图像据采集步骤、图像压缩步骤、图像传递步骤和图像恢复步骤；在图像传递步骤的感知过程中，消除了噪声精度参数取值对感知过程的影响，只关注超参数向量的估计，同时信源向量获得了更具稀疏诱导性的先验分布，并且感知过程通过有更低复杂度的计算方式实现，从而实现快速高效的稀疏信号重构，成功实现了性能更好的图像的压缩感知重构。图像的压缩感知重构。图像的压缩感知重构。


技术研发人员：王贤旭 段惠萍
受保护的技术使用者：电子科技大学
技术研发日：2023.05.30
技术公布日：2023/8/13