一种高阶网络的牵制控制方法

1.本发明涉及高阶网络同步技术领域，尤其涉及一种高阶网络的牵制控制方法。


背景技术：

2.复杂网络中，多个节点之间的相互作用称为高阶交互，高阶交互作用在网络的高阶结构上。现实中大部分系统都包含高阶交互，例如在生态系统中，多个种群之间的捕食关系可表示为高阶交互；在化学系统中，多个化合物之间的相互反应也可表示为高阶交互。研究人员引入单纯形来描述网络中的高阶结构。在一个无向图中，d-单纯形(d-simplex)为网络中d+1个节点所构成的完全图，可表示网络中d+1个节点所构成的高阶结构。不同阶的单纯形组成的拓扑结构称为单纯复形(simplicial complex)。一个无向图中所有单纯形组合成的单纯复形可用来表示一个高阶网络。过去的研究给出了单纯复形的一般动力学模型，同时表明单纯复形是表示高阶网络的有效数学工具。最近的研究中，研究人员将越来越多的关注点放在了高阶网络同步这一领域。当网络自身不能同步到期望状态时，通常通过添加一些外部控制的方法使得网络同步到期望状态。其中，牵制控制是指对网络中的一部分节点施加控制，进而使网络中所有的节点趋于同一状态。
3.在实际生产应用中，人们会希望高阶网络完全同步于期望状态，但高阶网络自身很难实现这一目标。为此，牵制控制方法被考虑应用到高阶网络上。


技术实现要素：

4.针对现有技术的不足，本发明提供一种高阶网络的牵制控制方法。
5.一种高阶网络的牵制控制方法，具体步骤如下：
6.步骤1：构造一个具有n个节点的无权无向图：
7.构造一个具有n个节点的无权无向图g＝(v，e)，其中，v＝{v1，v2，...，vn}为节点集，vn表示第n个节点，e＝{(vi，vj)}为边集，vi和vj分别表示第i个节点和第j个节点；(i1，i2，...，i
d+1
)表示节点之间的高阶交互，i
d+1
表示高阶交互中的第d+1个节点；使用单纯形来表示节点之间的高阶交互，其中，设置0-单纯形为一个节点，1-单纯形为一条边，2-单纯形为一个三角形，d-单纯形为d+1个节点所构成的完全图；无向图中所有单纯形的集合称为单纯复形，使用单纯复形来表示高阶网络；
8.步骤2：根据网络拓扑结构，确定d-维单纯复形的动力学方程：
[0009][0010]
其中，表示节点i的状态向量，上标t表示向量的转置；f:rm→rm
是描述节点的自身动力学的连续可微函数；h
(d)
，d＝1,2,
…
,d：r
(d+1)
×m→rm
表示d-单纯形下具有同步无创性的多个节点状态变量之间的耦合函数，h
(d)
(x,
x,
…
,x)≡0，常数σd》0，d＝1,2,
…
,d表示耦合强度；的定义如下：当(i,j1,j2,
…
,jd)属于d-单纯形时否则f(xi)为节点的自身动力学方程；jd表示d-单纯形中的第d+1个节点，其中d是单纯复形中的最高阶单纯形的阶数。
[0011]
步骤3：根据牵制控制高阶网络的目的，设计牵制控制器；选择被控节点，对高阶网络进行牵制控制：
[0012]
步骤3.1：建立需求：使公式(1)完全同步于期望状态xs，当t
→
∞时满足：
[0013]
xs＝x1＝
…
＝xn(2)
[0014]
其中，同时满足f(xs)＝0。
[0015]
步骤3.2：设计牵制控制器；对被控节点添加控制输入，设计牵制控制器ui，具体表达式为：
[0016]
ui＝biσ1h
(1)
(xi,xs)(3)
[0017]
其中，常数bi》0表示控制增益；表示网络同步时的期望状态；
[0018]
当xs＝xi时，h
(1)
(xi,xs)≡0，控制输入为零；同时，通过调节bi的大小来调节控制输入的大小；
[0019]
步骤3.3：将牵制控制器应用到高阶网络中，对网络中的q个节点进行控制，得到受牵制控制的d-维单纯复形动力学方程，表示为：
[0020][0021]
其中，ξi为二元变量，在节点i上施加牵制控制，则ξi＝1，否则ξi＝0；则
[0022]
步骤3.4：利用误差判断公式(4)是否同步到期望状态；误差的定义如下：
[0023][0024]
其中，表示向量xi中的第l项；表示期望状态xs中的第l项。
[0025]
采用上述技术方案所产生的有益效果在于：
[0026]
本发明提供一种高阶网络的牵制控制方法。牵制控制方法弥补了高阶网络自身很难同步到期望状态的缺陷。相比于控制全部节点的方法，牵制控制的成本更低，更具有可行性以及实际应用价值。同时，相比于两两交互的复杂网络，高阶网络更具有普适性。本发明不仅为解决高阶网络的同步问题提供了新的思路，对实际应用也有益处。本发明的研究成果可以应用到很多领域，如电力系统、社会网络、互联网等，为解决人们生产生活中的一些问题提供了新的方法。
附图说明
[0027]
图1为本发明实施例中牵制控制方法示意图；
[0028]
图2为本发明实施例中牵制控制下高阶网络误差和节点状态的曲线图；
[0029]
其中，图(a)-高阶网络拓扑图，(b)-误差曲线，图(c)-节点状态曲线。
具体实施方式
[0030]
下面结合附图和实施例，对本发明的具体实施方式作进一步详细描述。以下实施例用于说明本发明，但不用来限制本发明的范围。
[0031]
一种高阶网络的牵制控制方法，如图1所示，具体步骤如下：
[0032]
步骤1：构造一个具有n个节点的无权无向图：
[0033]
构造一个具有n个节点的无权无向图g＝(v,e)，其中，v＝{v1,v2,
…
,vn}为节点集，vn表示第n个节点，e＝{(vi,vj)}为边集，vi和vj分别表示第i个节点和第j个节点；(i1,i2,
…
,i
d+1
)表示节点之间的高阶交互，i
d+1
表示高阶交互中的第d+1个节点；使用单纯形来表示节点之间的高阶交互，其中，设置0-单纯形为一个节点，1-单纯形为一条边，2-单纯形为一个三角形，d-单纯形为d+1个节点所构成的完全图；无向图中所有单纯形的集合称为单纯复形，使用单纯复形来表示高阶网络；
[0034]
本实施例中如图2(a)所示，本实施例中构造了一个具有六个节点的网络，包含六个0-单纯形，七个1-单纯形和两个2-单纯形。上述所有单纯形组成了一个单纯复形，该单纯复形为2-维单纯复形，即d＝2。
[0035]
步骤2：根据网络拓扑结构，确定d-维单纯复形的动力学方程：
[0036][0036][0037]
其中，表示节点i的状态向量，上标t表示向量的转置；f:rm→rm
是描述节点的自身动力学的连续可微函数；h
(d)
，d＝1,2,
…
,d：r
(d+1)
×m→rm
表示d-单纯形下具有同步无创性的多个节点状态变量之间的耦合函数，h
(d)
(x,x,
…
,x)≡0，常数σd》0，d＝1,2,
…
,d表示耦合强度；的定义如下：当(i,j1,j2,
…
,jd)属于d-单纯形时否则f(xi)为节点的自身动力学方程；jd表示d-单纯形中的第d+1个节点，其中d是单纯复形中的最高阶单纯形的阶数。
[0038]
步骤3：根据牵制控制高阶网络的目的，设计牵制控制器；选择被控节点，对高阶网络进行牵制控制：
[0039]
步骤3.1：建立需求：使公式(1)完全同步于期望状态xs，当t
→
∞时满足：
[0040]
xs＝x1＝
…
＝xn(2)
[0041]
其中，同时满足f(xs)＝0。
[0042]
步骤3.2：为满足步骤3.1中的需求，设计牵制控制器；
[0043]
本发明对网络中的一部分节点进行控制，即对被控节点添加控制输入，设计牵制控制器ui，具体表达式为：
[0044]
ui＝biσ1h
(1)
(xi,xs)(3)
[0045]
其中，常数bi》0表示控制增益；表示网络同步时的
期望状态；
[0046]
从公式(3)看出，控制器提供了一个由控制增益bi、耦合函数h
(1)
(xi,xs)和耦合系数σ1相乘得到的控制输入；当xs＝xi时，h
(1)
(xi,xs)≡0，控制输入为零；同时，通过调节bi的大小来调节控制输入的大小；
[0047]
步骤3.3：将牵制控制器应用到高阶网络中，对网络中的q个节点进行控制，得到受牵制控制的d-维单纯复形动力学方程，表示为：
[0048][0049]
其中，ξi为二元变量，在节点i上施加牵制控制，则ξi＝1，否则ξi＝0；则
[0050]
步骤3.4：利用误差判断公式(4)是否同步到期望状态；误差的定义如下：
[0051][0052]
其中，表示向量xi中的第l项；表示期望状态xs中的第l项。
[0053]
在本实施例中，对于节点的自身动力学方程f(xi)，考虑其为系统。系统的自身动力学方程为：
[0054][0055]
其中，设定a＝β＝0.2，c＝9。
[0056]
在这种情况下,该混沌系统的一个平衡点为xs＝[0.0044,-0.0222,0.0222]
t
，满足并且满足f(xs)＝0。本实施例的目标是将网络中所有节点的状态控制到该平衡点。
[0057]
本实例将耦合函数设定为本实例将耦合函数设定为进一步写出控制器ui的动力学方程：
[0058][0059]
将公式(6)、(7)以及耦合函数代入到公式(4)中，得到受牵制控制的d-维单纯复形动力学方程。没有被施加牵制控制的节点的动力学方程描述为：
[0060][0061]
被施加牵制控制的节点的动力学方程描述为：
[0062][0063]
该实施例对图2(a)中的节点1，2，3进行控制，即q＝3。设控制增益b1＝b2＝b3＝b＝2；耦合强度σ1＝1，σ2＝0.1。使用matlab进行仿真，对六个节点的状态xi，i＝1,2,
…
,6以及系统的误差进行跟踪。本实例中采用四阶定步长runge-kutta算法对公式(8)、(9)中的微分方程进行求解，其中，步长δt＝1
×
10-3
，步数t＝100000。仿真图如图2(b)、(c)所示。
[0064]
由图2(b)、(c)可以看出，在对高阶网络进行牵制控制后，系统中所有节点的状态逐渐趋于平衡点xs，误差趋于0，实现控制目标，说明牵制控制方法有效。
[0065]
以上描述仅为本公开的较佳实施例以及对所运用技术原理的说明。本领域技术人员应当理解，本公开的实施例中所涉及的发明范围，并不限于上述技术特征的特定组合而成的技术方案，同时也应涵盖在不脱离上述发明构思的情况下，由上述技术特征或其等同特征进行任意组合而形成的其它技术方案。例如上述特征与本公开的实施例中公开的(但不限于)具有类似功能的技术特征进行互相替换而形成的技术方案。

技术特征：
1.一种高阶网络的牵制控制方法，其特征在于，包括以下步骤：步骤1：构造一个具有n个节点的无权无向图；步骤2：根据网络拓扑结构，确定d-维单纯复形的动力学方程；步骤3：根据牵制控制高阶网络的目的，设计牵制控制器；选择被控节点，对高阶网络进行牵制控制。2.根据权利要求1所述的一种高阶网络的牵制控制方法，其特征在于，所述步骤1具体为：构造一个具有n个节点的无权无向图g＝(v,e)，其中，v＝{v1,v2,
…
,v
n
}为节点集，v
n
表示第n个节点，e＝{(v
i
,v
j
)}为边集，v
i
和v
j
分别表示第i个节点和第j个节点；(i1,i2,
…
,i
d+1
)表示节点之间的高阶交互，i
d+1
表示高阶交互中的第d+1个节点；使用单纯形来表示节点之间的高阶交互，其中，设置0-单纯形为一个节点，1-单纯形为一条边，2-单纯形为一个三角形，d-单纯形为d+1个节点所构成的完全图；无向图中所有单纯形的集合称为单纯复形，使用单纯复形来表示高阶网络。3.根据权利要求1所述的一种高阶网络的牵制控制方法，其特征在于，步骤2中所述d-维单纯复形的动力学方程：其中，表示节点i的状态向量，上标t表示向量的转置；f:r
m
→
r
m
是描述节点的自身动力学的连续可微函数；h
(d)
，d＝1,2,
…
,d：r
(d+1)
×
m
→
r
m
表示d-单纯形下具有同步无创性的多个节点状态变量之间的耦合函数，常数σ
d
>0，d＝1,2,
…
,d表示耦合强度；的定义如下：当(i,j1,j2,
…
,j
d
)属于d-单纯形时否则f(x
i
)为节点的自身动力学方程；j
d
表示d-单纯形中的第d+1个节点，其中d是单纯复形中的最高阶单纯形的阶数。4.根据权利要求1所述的一种高阶网络的牵制控制方法，其特征在于，所述步骤3具体包括以下步骤：步骤3.1：建立需求：使公式(1)完全同步于期望状态x
s
，当t
→
∞时满足：x
s
＝x1＝
…
＝x
n
(2)其中，同时满足f(x
s
)＝0；步骤3.2：设计牵制控制器；对被控节点添加控制输入，设计牵制控制器u
i
，具体表达式为：u
i
＝b
i
σ1h
(1)
(x
i
,x
s
)(3)其中，常数b
i
>0表示控制增益；表示网络同步时的期望状态；当x
s
＝x
i
时，h
(1)
(x
i
,x
s
)≡0，控制输入为零；同时，通过调节b
i
的大小来调节控制输入的大小；步骤3.3：将牵制控制器应用到高阶网络中，对网络中的q个节点进行控制，得到受牵制
控制的d-维单纯复形动力学方程，表示为：其中，ξ
i
为二元变量，在节点i上施加牵制控制，则ξ
i
＝1，否则ξ
i
＝0；则步骤3.4：利用误差判断公式(4)是否同步到期望状态；误差的定义如下：其中，表示向量x
i
中的第l项；表示期望状态x
s
中的第l项。

技术总结
本发明提供了一种高阶网络的牵制控制方法，涉及高阶网络同步技术领域。本发明考虑用单纯复形来表示高阶网络。牵制控制高阶网络的最终目的是使高阶网络完全同步于期望状态。基于D-维单纯复形的动力学方程以及牵制控制高阶网络的目的，本发明设计了牵制控制器。选择被控节点，将牵制控制器应用到被控节点上，对高阶网络进行牵制控制。相比于对网络中全部节点进行控制的方法，牵制控制成本更低，更具有可行性以及实际应用价值。以上技术可应用于互联网、社会网络、电力系统等诸多领域，为解决实际生活中的许多问题提供了新思路。该发明不仅对高阶网络同步领域的研究有重要的价值，对实际的生产生活也很有意义。际的生产生活也很有意义。际的生产生活也很有意义。


技术研发人员：项林英 夏儒雅
受保护的技术使用者：东北大学秦皇岛分校
技术研发日：2023.05.16
技术公布日：2023/8/13