兼容任意几何形状平面传感器阵列的二维超分辨率波达方向估计方法

1.本发明涉及传感器领域，具体是兼容任意几何形状平面传感器阵列的二维超分辨率波达方向估计方法。


背景技术：

2.基于压缩感知理论且将目标源区域作为连续体处理的无网格压缩感知方法是一种从传声器阵列测量数据中提取源信息的新型波达方向(direction-of-arrival,doa)估计方法。基于平面传感器阵列的二维无网格压缩感知方法有望对阵列前方半球空间实现源超分辨率doa估计。现有二维无网格压缩感知方法尚不能很好地兼容任意平面阵，这限制了二维无网格压缩感知doa估计方法的推广应用。


技术实现要素：

3.本发明的目的是提出一种兼容任意几何形状平面传感器阵列的二维超分辨率波达方向估计方法，打破现有二维无网格压缩感知方法尚不能很好地兼容任意平面阵的局限。
4.为实现本发明目的而采用的技术方案是这样的，兼容任意几何形状平面传感器阵列的二维超分辨率波达方向估计方法，包括以下步骤：
5.1)布置平面传感器阵列。
6.2)基于二维傅里叶逆变换，建立信号源在任意两个传感器处产生的强度信号之间的协方差方程。
7.3)利用平面传感器阵列，测量信号源在传感器处的信号，得到实测信号p
★
，并计算出协方差矩阵c
★
和协方差向量c
★
。
8.4)利用协方差方程和协方差向量c
★
得到实测协方差矩阵c0★
，并基于原子范数最小化方法建立实测信号协方差去干扰数学模型。
9.5)求解实测信号协方差去干扰数学模型，得到α辅助矩阵和β辅助矩阵
10.6)基于矩阵束与配对法，利用α辅助矩阵和β辅助矩阵得到信号源doa的估计结果。
11.进一步，在步骤2)中，基于二维傅里叶逆变换，建立信号源在任意两个传感器处产生的强度信号之间的协方差方程的步骤包括：
12.2.1)以平面传感器阵列中心作为原点，建立笛卡尔坐标，设定平面传感器阵列中传感器的笛卡尔坐标为(xm,ym,0)，m＝1,2,
…
,m为传感器索引，空间内任意信号源的doa为(θi,φi)，θi为笛卡尔坐标系的正z轴与原点到信号源连线间的夹角，φi为正x轴与原点到信号源连线在xy平面投影间的夹角。i＝1,2,
…
,i为信号源索引，
13.空间内任意信号源在传感器(xm,ym,0)处产生的强度信号pm如下所示：
[0014][0015]
式中，si为第i个信号源的强度，为虚数单位，λ为波长，参数sinαi≡sinθicosφi，参数sinβi≡sinθisinφi。
[0016]
信号源在任意两个传感器处产生的信号的协方差如下所示：
[0017][0018]
式中，c
mm'
为信号源在任意两个传感器处产生的信号的协方差，m和m'均为传感器索引，m＝1,2,
…
,m，m'＝1,2,
…
,m，m≠m'，表示期望，pm为m信号源在传感器处产生的信号，为m'信号源在传感器处产生的信号的共轭，为第i个信号源的均方强度，si为第i个信号源的强度，符号“|
·
|”表示取模，δx
mm'
＝x
m-x
m'
，δy
mm'
＝y
m-y
m'
。xm和x
m'
均为传感器的笛卡尔横坐标，ym和y
m'
均为传感器的笛卡尔纵坐标，为虚数单位，λ为波长，参数sinαi≡sinθicosφi，参数sinβi≡sinθisinφi。(θi,φi)为空间内任意信号源的doa。
[0019]
2.2)构建以z为自变量的n阶第一类bessel函数jn(z)，数值模拟不同z和n取值下的函数|jn(z)|，拟合出使|jn(z)|≈0的最小正阶n如下所示：
[0020]
n＝f(z)
ꢀꢀꢀ
(3)
[0021]
式中，f(z)为不同z对应的使|jn(z)|≈0的最小正阶表达式。
[0022]
2.3)jacobi-anger恒等式如下所示：
[0023][0024]
由此公式(2)可改写成：
[0025][0026]
式中，n
x
＝f(2πδx
mm'
/λ)、ny＝f(2πδy
mm'
/λ)分别为x、y维上n的取值，分别为x、y维上的n阶第一类bessel函数，n
x
、ny分别为x、y维上n的取值。
[0027]
2.4)作为源强的二维傅里叶逆变换。
[0028]
2.5)构建矩阵j
x
和jy。
[0029]
[0030][0031]
式中，n1＝f(2π[δx
mm'
]
max
/λ)、n2＝f(2π[δy
mm'
]
max
/λ)，[δx
mm
']
max
、[δy
mm
']
max
分别为所有δx
mm'
、δy
mm'
中的最大值，m和m'均为传感器索引，m＝1,2,
…
,m，m'＝1,2,
…
,m，m≠m'，δx
mm'
＝x
m-x
m'
，δy
mm'
＝y
m-y
m'
。xm和x
m'
均为传感器的笛卡尔横坐标，ym和y
m'
均为传感器的笛卡尔纵坐标，λ为波长，f(
·
)为不同自变量对应的使|jn(
·
)|≈0的最小正阶表达式。jn(
·
)为n阶第一类bessel函数。为实数集。
[0032]
2.6)令向量其中，c
mm'
为信号源在任意两个传感器处产生的信号的协方差，上标“t”表示转置，为复数集，信号源在任意两个传感器处产生的信号的协方差方程如下所示：
[0033][0034]
式中，diag(
·
)表示括号内矩阵的对角线元素构成的向量。为第i个信号源的均方强度，si为第i个信号源的强度，符号“|
·
|”表示取模，表示期望。向量d(αi)和向量d(βi)如公式(9)和公式(10)所示：
[0035][0036][0037]
式中，参数sinαi≡sinθicosφi，参数sinβi≡sinθisinφi。
[0038]
进一步，在步骤3)中，记为传感器实测信号构成的矩阵，其中，l为数据快拍总数。
[0039]
信号源在不同传感器处实测信号的协方差矩阵c
★
如下所示：
[0040][0041]
式中，为源在传感器处产生信号构成的矩阵，l为数据快拍总数。上标“h”表示转置共轭。
[0042]
协方差向量为协方差矩阵c
★
的列堆叠而成的向量。
[0043]
进一步，在步骤4)中，所述基于原子范数最小化方法以连续域内源分布稀疏性为约束。
[0044]
利用协方差方程和协方差向量c
★
得到实测协方差矩阵c0★
，并基于原子范数最小化方法建立实测信号协方差去干扰数学模型的步骤包括：
[0045]
4.1)利用协方差方程和协方差向量c
★
，得到实测协方差矩阵c0★
如下所示：
[0046][0047]
式中，为干扰向量。
[0048]
4.2)设定根据凸几何理论，b的原子范数定义为：
[0049][0050]
式中，为原子集合，为正实数集，inf(
·
)为取下限函数。
[0051]
4.3)通过求解原子范数最小化的参数去除实测协方差矩阵c0★
中的干扰，如下所示：
[0052][0053]
式中，ε为干扰控制参数，||
·
||2表示l2范数。arg min a(x)subject to b(x)表示在b(x)成立的情况下，a(x)取最小值时，x的取值。
[0054]
进一步，所述干扰向量包括：传感器实际测量时的干扰信号、用有限快拍的均值替代期望引起的干扰和bessel函数阶截断引起的干扰。
[0055]
进一步，在步骤5)中，求解实测信号协方差去干扰数学模型如下所示：
[0056][0057][0058]
式中，t
α
和t
β
均为hermitian toeplitz矩阵，tr(
·
)表示矩阵的迹，符号“≥0”表示半正定，为α辅助矩阵，为β辅助矩阵。
[0059]
进一步，所述协方差去干扰数学模型的求解工具包括：cvx工具箱中的sdpt3求解器。
[0060]
进一步，在步骤6)中，基于矩阵束与配对法，利用α辅助矩阵和β辅助矩阵得到信号源doa的估计结果的步骤包括：
[0061]
6.1)估计信号源的数目保留矩阵c
★
中大于阈值的特征值，删除矩阵c
★
中小于阈值的特征值，并将保留的特征值个数作为信号源数目。
[0062]
6.2)从矩阵中提取从矩阵中提取并根据多信号分类法，配对和
[0063]
6.3)计算信号源并量化源强。
[0064]
进一步，步骤6.2)中，从矩阵中提取从矩阵中提取并根据多信号分类法，配对和的步骤如下：
[0065]
6.2.1)特征值分解。
[0066][0067]
式中，u1为矩阵的特征向量构成的酉矩阵，λ1为矩阵的特征值构成的对角矩阵。u2为矩阵的特征向量构成的酉矩阵，λ2为矩阵的特征值构成的对角矩阵。
[0068]
6.2.2)记为矩阵的个保留的特征值的平方根构成的对角矩阵，为矩阵的个保留的特征值的平方根构成的对角矩阵，为矩阵的个保留的特征值对应的特征向量构成的矩阵，为矩阵的个保留的特征值对应的特征向量构成的矩阵，令特征值对应的特征向量构成的矩阵，令删除y的最后一行得删除y'的最后一行得删除y的第一行得删除y'的第一行得计算矩阵束(yd,yu)的广义特征值得计算矩阵束(y'd,y'u)的广义特征值得u、v分别为矩阵束(yd,yu)、矩阵束(y'd,y'u)的广义特征值序数。
[0069]
6.2.3)矩阵束(yd,yu)的广义特征值取虚部并去重根得矩阵束(y'd,y'u)的广义特征值取虚部并去重根得
[0070]
6.2.4)利用多信号分类法为找到配对的v，如下所示：
[0071][0072]
式中，g(u)为映射函数，自变量为u，函数值为与u配对的v，由矩阵c
★
的个删除的特征值对应的特征向量构成，上标“h”表示转置共轭。(xm,ym)为传感器坐标，λ为波长。
[0073]
6.2.5)根据和匹配的v，将对应的写入同一向量集，得到
[0074]
进一步，步骤6.3)中，计算信号源并量化源强的步骤如下：
[0075]
6.3.1)根据sinα≡sinθcosφ，sinβ≡sinθsinφ，从中计算得
[0076]
6.3.2)源强如下所示：
[0077]
[0078]
式中，为信号源在传感器处产生信号构成的矩阵，为根据估计的信号源doa计算的感知矩阵，上标“+”表示伪逆，为量化的源强。
[0079]
本发明的技术效果是毋庸置疑的，本发明在平面传感器阵列二维源doa估计框架下，利用jacobi-anger恒等式，联合bessel函数性质，将源在任意传感器处产生信号的协方差表示为源强二维傅里叶逆变换的相关形式，基于该形式在连续域内建立以源分布稀疏性为约束的实测信号协方差去干扰数学模型，并转化为解耦半正定规划求解，以求解结果为输入，通过矩阵束与配对法估计源doa，最终形成兼容任意几何形状平面传感器阵列的无网格压缩感知方法。算例仿真和蒙特卡罗仿真证明：本发明方法能实现二维超分辨率doa估计，且不受平面阵几何形状限制，干扰不过强时本发明方法均能高概率准确估计源doa。
附图说明
[0080]
图1为不同z和n取值下的|jn(z)|；图(1a)|jn(z)|成像图；图(1b)n随z的变化关系。
[0081]
图2为四种平面阵传感器分布情况及采用对应阵列时本发明方法的源doa估计结果；图(2a)为圆环形阵列传感器分布情况；图(2b)为星形阵列传感器分布情况；图(2c)为轮形阵列传感器分布情况；图(2d)为扇形轮阵列传感器分布情况；图(2e)为采用圆环形阵列时本发明方法的源doa估计结果；图(2f)为采用星形阵列时本发明方法的源doa估计结果；图(2g)为采用轮形阵列时本发明方法的源doa估计结果；图(2h)为采用扇形轮阵列时本发明方法的源doa估计结果；
[0082]
图3为本发明方法在不同信噪比和数据快拍总数下100次蒙特卡罗仿真获得的均方根误差。
具体实施方式
[0083]
下面结合实施例对本发明作进一步说明，但不应该理解为本发明上述主题范围仅限于下述实施例。在不脱离本发明上述技术思想的情况下，根据本领域普通技术知识和惯用手段，做出各种替换和变更，均应包括在本发明的保护范围内。
[0084]
实施例1：
[0085]
参见图1至图3，兼容任意几何形状平面传感器阵列的二维超分辨率波达方向估计方法，包括以下步骤：
[0086]
1)布置平面传感器阵列。
[0087]
2)基于二维傅里叶逆变换，建立信号源在任意两个传感器处产生的强度信号之间的协方差方程。
[0088]
3)利用平面传感器阵列，测量信号源在传感器处的信号，得到实测信号p
★
，并计算出协方差矩阵c
★
和协方差向量c
★
。
[0089]
4)利用协方差方程和协方差向量c
★
得到实测协方差矩阵c0★
，并基于原子范数最小化方法建立实测信号协方差去干扰数学模型。
[0090]
5)求解实测信号协方差去干扰数学模型，得到α辅助矩阵和β辅助矩阵
[0091]
6)基于矩阵束与配对法，利用α辅助矩阵和β辅助矩阵得到信号源doa的估计结果。
[0092]
在步骤2)中，基于二维傅里叶逆变换，建立信号源在任意两个传感器处产生的强度信号之间的协方差方程的步骤包括：
[0093]
2.1)以平面传感器阵列中心作为原点，建立笛卡尔坐标，设定平面传感器阵列中传感器的笛卡尔坐标为(xm,ym,0)，m＝1,2,
…
,m为传感器索引，空间内任意信号源的doa为(θi,φi)，θi为笛卡尔坐标系的正z轴与原点到信号源连线间的夹角，φi为正x轴与原点到信号源连线在xy平面投影间的夹角。i＝1,2,
…
,i为信号源索引，
[0094]
空间内任意信号源在传感器(xm,ym,0)处产生的强度信号pm如下所示：
[0095][0096]
式中，si为第i个信号源的强度，为虚数单位，λ为波长，参数sinαi≡sinθicosφi，参数sinβi≡sinθisinφi。
[0097]
信号源在任意两个传感器处产生的信号的协方差如下所示：
[0098][0099]
式中，c
mm'
为信号源在任意两个传感器处产生的信号的协方差，m和m'均为传感器索引，m＝1,2,
…
,m，m'＝1,2,
…
,m，m≠m'，表示期望，pm为m信号源在传感器处产生的信号，为m'信号源在传感器处产生的信号的共轭，为第i个信号源的均方强度，si为第i个信号源的强度，符号“|
·
|”表示取模，δx
mm'
＝x
m-x
m'
，δy
mm'
＝y
m-y
m'
。xm和x
m'
均为传感器的笛卡尔横坐标，ym和y
m'
均为传感器的笛卡尔纵坐标，为虚数单位，λ为波长，参数sinαi≡sinθicosφi，参数sinβi≡sinθisinφi。(θi,φi)为空间内任意信号源的doa。
[0100]
2.2)构建以z为自变量的n阶第一类bessel函数jn(z)，数值模拟不同z和n取值下的函数|jn(z)|，结果如图1(a)示。显然，对特定z，n足够大或足够小时，|jn(z)|≈0。记n为使|jn(z)|≈0(小于10-4)的最小正阶，由于j-n
(z)＝(-1)
njn
(z)，则|n|≥n时，|jn(z)|≈0。从图1(a)中搜索不同z对应的n值，所得结果如图1(b)中
“●”
示，拟合出使|jn(z)|≈0的最小正阶n如下所示：
[0101]
n＝f(z)
ꢀꢀꢀ
(3)
[0102]
式中，f(z)为不同z对应的使|jn(z)|≈0的最小正阶表达式。式(3)对应图1(b)中曲线。
[0103]
2.3)jacobi-anger恒等式如下所示：
[0104][0105]
由此公式(2)可改写成：
[0106][0107]
式中，n
x
＝f(2πδx
mm'
/λ)、ny＝f(2πδy
mm'
/λ)分别为x、y维上n的取值，分
别为x、y维上的n阶第一类bessel函数，n
x
、ny分别为x、y维上n的取值。
[0108]
2.4)作为源强的二维傅里叶逆变换。
[0109]
2.5)构建矩阵j
x
和jy。
[0110][0111][0112]
式中，n1＝f(2π[δx
mm'
]
max
/λ)、n2＝f(2π[δy
mm'
]
max
/λ)，[δx
mm'
]
max
、[δy
mm'
]
max
分别为所有δx
mm'
、δy
mm'
中的最大值，m和m'均为传感器索引，m＝1,2,
…
,m，m'＝1,2,
…
,m，m≠m'，δx
mm'
＝x
m-x
m'
，δy
mm'
＝y
m-y
m'
。xm和x
m'
均为传感器的笛卡尔横坐标，ym和y
m'
均为传感器的笛卡尔纵坐标，λ为波长，f(
·
)为不同自变量对应的使|jn(
·
)|≈0的最小正阶表达式。jn(
·
)为n阶第一类bessel函数。为实数集。
[0113]
2.6)令向量其中，c
mm'
为信号源在任意两个传感器处产生的信号的协方差，上标“t”表示转置，为复数集，信号源在任意两个传感器处产生的信号的协方差方程如下所示：
[0114][0115]
式中，diag(
·
)表示括号内矩阵的对角线元素构成的向量。为第i个信号源的均方强度，si为第i个信号源的强度，符号“|
·
|”表示取模，表示期望。向量d(αi)和向量d(βi)如公式(9)和公式(10)所示：
[0116][0117][0118]
式中，参数sinαi≡sinθicosφi，参数sinβi≡sinθisinφi。
[0119]
在步骤3)中，记为传感器实测信号构成的矩阵，其中，l为数据快拍总数。
[0120]
信号源在不同传感器处实测信号的协方差矩阵c
★
如下所示：
[0121][0122]
式中，为源在传感器处产生信号构成的矩阵，l为数据快拍总数。上标“h”表示转置共轭。
[0123]
协方差向量为协方差矩阵c
★
的列堆叠而成的向量。
[0124]
在步骤4)中，所述基于原子范数最小化方法以连续域内源分布稀疏性为约束。
[0125]
利用协方差方程和协方差向量c
★
得到实测协方差矩阵c0★
，并基于原子范数最小化方法建立实测信号协方差去干扰数学模型的步骤包括：
[0126]
4.1)利用协方差方程和协方差向量c
★
，得到实测协方差矩阵c0★
如下所示：
[0127][0128]
式中，为干扰向量。
[0129]
4.2)设定根据凸几何理论，b的原子范数定义为：
[0130][0131]
式中，为原子集合，为正实数集，inf(
·
)为取下限函数。
[0132]
4.3)通过求解原子范数最小化的参数去除实测协方差矩阵c0★
中的干扰，如下所示：
[0133][0134]
式中，ε为干扰控制参数，||
·
||2表示l2范数。arg min a(x)subject to b(x)表示在b(x)成立的情况下，a(x)取最小值时，x的取值。
[0135]
所述干扰向量包括：传感器实际测量时的干扰信号、用有限快拍的均值替代期望引起的干扰和bessel函数阶截断引起的干扰。
[0136]
在步骤5)中，求解实测信号协方差去干扰数学模型如下所示：
[0137][0138][0139]
式中，t
α
和t
β
均为hermitian toeplitz矩阵，tr(
·
)表示矩阵的迹，符号“≥0”表示半正定，为α辅助矩阵，为β辅助矩阵。式(15)所示为半正定规划为标准凸优化问题。
[0140]
所述协方差去干扰数学模型的求解工具包括：cvx工具箱中的sdpt3求解器。
[0141]
在步骤6)中，基于矩阵束与配对法，利用α辅助矩阵和β辅助矩阵得到信号源doa的估计结果的步骤包括：
[0142]
6.1)估计信号源的数目保留矩阵c
★
中大于阈值的特征值，删除矩阵c
★
中小于阈值的特征值，并将保留的特征值个数作为信号源数目。
[0143]
6.2)从矩阵中提取从矩阵中提取并根据多信号分类法，配对和
[0144]
6.3)计算信号源并量化源强。
[0145]
步骤6.2)中，从矩阵中提取从矩阵中提取并根据多信号分类法，配对和的步骤如下：
[0146]
6.2.1)特征值分解。
[0147][0148]
式中，u1为矩阵的特征向量构成的酉矩阵，λ1为矩阵的特征值构成的对角矩阵。u2为矩阵的特征向量构成的酉矩阵，λ2为矩阵的特征值构成的对角矩阵。
[0149]
6.2.2)记为矩阵的个保留的特征值的平方根构成的对角矩阵，为矩阵的个保留的特征值的平方根构成的对角矩阵，为矩阵的个保留的特征值对应的特征向量构成的矩阵，为矩阵的个保留的特征值对应的特征向量构成的矩阵，令征值对应的特征向量构成的矩阵，令删除y的最后一行得删除y'的最后一行得删除y的第一行得删除y'的第一行得计算矩阵束(yd,yu)的广义特征值得计算矩阵束(y'd,y'u)的广义特征值得u、v分别为矩阵束(yd,yu)、矩阵束(y'd,y'u)的广义特征值序数。
[0150]
6.2.3)矩阵束(yd,yu)的广义特征值取虚部并去重根得矩阵束(y'd,y'u)的广义特征值取虚部并去重根得
[0151]
6.2.4)利用多信号分类法为找到配对的v，如下所示：
[0152][0153]
式中，g(u)为映射函数，自变量为u，函数值为与u配对的v，由矩阵c
★
的个删除的特征值对应的特征向量构成，上标“h”表示转置共轭。(xm,ym)为传感器坐标，λ为波长。
[0154]
6.2.5)根据和匹配的v，将对应的写入同一向量集，得到
[0155]
步骤6.3)中，计算信号源并量化源强的步骤如下：
[0156]
6.3.1)根据sinα≡sinθcosφ，sinβ≡sinθsinφ，从中计算得
[0157]
6.3.2)源强如下所示：
[0158][0159]
式中，为信号源在传感器处产生信号构成的矩阵，为根据估计的信号源doa计算的感知矩阵，上标“+”表示伪逆，为量化的源强。
[0160]
实施例2：
[0161]
参见图1至图3，兼容任意几何形状平面传感器阵列的二维超分辨率波达方向估计方法，包括以下步骤：
[0162]
1)布置平面传感器阵列。
[0163]
2)基于二维傅里叶逆变换，建立信号源在任意两个传感器处产生的强度信号之间的协方差方程。
[0164]
3)利用平面传感器阵列，测量信号源在传感器处的信号，得到实测信号p
★
，并计算出协方差矩阵c
★
和协方差向量c
★
。
[0165]
4)利用协方差方程和协方差向量c
★
得到实测协方差矩阵c0★
，并基于原子范数最小化方法建立实测信号协方差去干扰数学模型。
[0166]
5)求解实测信号协方差去干扰数学模型，得到α辅助矩阵和β辅助矩阵
[0167]
6)基于矩阵束与配对法，利用α辅助矩阵和β辅助矩阵得到信号源doa的估计结果。
[0168]
实施例3：
[0169]
兼容任意几何形状平面传感器阵列的二维超分辨率波达方向估计方法，主要步骤见实施例2，在步骤2)中，基于二维傅里叶逆变换，建立信号源在任意两个传感器处产生的强度信号之间的协方差方程的步骤包括：
[0170]
2.1)以平面传感器阵列中心作为原点，建立笛卡尔坐标，设定平面传感器阵列中传感器的笛卡尔坐标为(xm,ym,0)，m＝1,2,
…
,m为传感器索引，空间内任意信号源的doa为(θi,φi)，θi为笛卡尔坐标系的正z轴与原点到信号源连线间的夹角，φi为正x轴与原点到信号源连线在xy平面投影间的夹角。i＝1,2,
…
,i为信号源索引，
[0171]
空间内任意信号源在传感器(xm,ym,0)处产生的强度信号pm如下所示：
[0172][0173]
式中，si为第i个信号源的强度，为虚数单位，λ为波长，参数sinαi≡sinθicosφi，参数sinβi≡sinθisinφi。
[0174]
信号源在任意两个传感器处产生的信号的协方差如下所示：
[0175]
[0176]
式中，c
mm'
为信号源在任意两个传感器处产生的信号的协方差，m和m'均为传感器索引，m＝1,2,
…
,m，m'＝1,2,
…
,m，m≠m'，表示期望，pm为m信号源在传感器处产生的信号，为m'信号源在传感器处产生的信号的共轭，为第i个信号源的均方强度，si为第i个信号源的强度，符号“|
·
|”表示取模，δx
mm'
＝x
m-x
m'
，δy
mm'
＝y
m-y
m'
。xm和x
m'
均为传感器的笛卡尔横坐标，ym和y
m'
均为传感器的笛卡尔纵坐标，为虚数单位，λ为波长，参数sinαi≡sinθicosφi，参数sinβi≡sinθisinφi。(θi,φi)为空间内任意信号源的doa。
[0177]
2.2)构建以z为自变量的n阶第一类bessel函数jn(z)，数值模拟不同z和n取值下的函数|jn(z)|，结果如图1(a)示。显然，对特定z，n足够大或足够小时，|jn(z)|≈0。记n为使|jn(z)|≈0(小于10-4)的最小正阶，由于j-n
(z)＝(-1)
njn
(z)，则|n|≥n时，|jn(z)|≈0。从图1(a)中搜索不同z对应的n值，所得结果如图1(b)中
“●”
示，拟合出使|jn(z)|≈0的最小正阶n如下所示：
[0178]
n＝f(z)
ꢀꢀꢀ
(3)
[0179]
式中，f(z)为不同z对应的使|jn(z)|≈0的最小正阶表达式。式(3)对应图1(b)中曲线。
[0180]
2.3)jacobi-anger恒等式如下所示：
[0181][0182]
由此公式(2)可改写成：
[0183][0184]
式中，n
x
＝f(2πδx
mm'
/λ)、ny＝f(2πδy
mm'
/λ)分别为x、y维上n的取值，分别为x、y维上的n阶第一类bessel函数，n
x
、ny分别为x、y维上n的取值。
[0185]
2.4)作为源强的二维傅里叶逆变换。
[0186]
2.5)构建矩阵j
x
和jy。
[0187][0188][0189]
式中，n1＝f(2π[δx
mm'
]
max
/λ)、n2＝f(2π[δy
mm'
]
max
/λ)，[δx
mm'
]
max
、[δy
mm'
]
max
分别为所有δx
mm'
、δy
mm'
中的最大值，m和m'均为传感器索引，m＝1,2,
…
,m，m'＝1,2,
…
,m，m≠m'，δx
mm'
＝x
m-x
m'
，δy
mm'
＝y
m-y
m'
。xm和x
m'
均为传感器的笛卡尔横坐标，ym和y
m'
均为传感器的笛卡尔纵坐标，λ为波长，f(
·
)为不同自变量对应的使|jn(
·
)|≈0的最小正阶表达式。jn(
·
)为n阶第一类bessel函数。为实数集。
[0190]
2.6)令向量其中，c
mm'
为信号源在任意两个传感器处产生的信号的协方差，上标“t”表示转置，为复数集，信号源在任意两个传感器处产生的信号的协方差方程如下所示：
[0191][0192]
式中，diag(
·
)表示括号内矩阵的对角线元素构成的向量。为第i个信号源的均方强度，si为第i个信号源的强度，符号“|
·
|”表示取模，表示期望。向量d(αi)和向量d(βi)如公式(9)和公式(10)所示：
[0193][0194][0195]
式中，参数sinαi≡sinθicosφi，参数sinβi≡sinθisinφi。
[0196]
实施例4：
[0197]
兼容任意几何形状平面传感器阵列的二维超分辨率波达方向估计方法，主要步骤见实施例2，在步骤3)中，记为传感器实测信号构成的矩阵，其中，l为数据快拍总数。
[0198]
信号源在不同传感器处实测信号的协方差矩阵c
★
如下所示：
[0199][0200]
式中，为源在传感器处产生信号构成的矩阵，l为数据快拍总数。上标“h”表示转置共轭。
[0201]
协方差向量为协方差矩阵c
★
的列堆叠而成的向量。
[0202]
实施例5：
[0203]
兼容任意几何形状平面传感器阵列的二维超分辨率波达方向估计方法，主要步骤见实施例2，在步骤4)中，所述基于原子范数最小化方法以连续域内源分布稀疏性为约束。
[0204]
利用协方差方程和协方差向量c
★
得到实测协方差矩阵c0★
，并基于原子范数最小化方法建立实测信号协方差去干扰数学模型的步骤包括：
[0205]
4.1)利用协方差方程和协方差向量c
★
，得到实测协方差矩阵c0★
如下所示：
[0206][0207]
式中，为干扰向量。
[0208]
4.2)设定根据凸几何理论，b的原子范数定义为：
[0209]
[0210]
式中，为原子集合，为正实数集，inf(
·
)为取下限函数。
[0211]
4.3)通过求解原子范数最小化的参数去除实测协方差矩阵c0★
中的干扰，如下所示：
[0212][0213]
式中，ε为干扰控制参数，||
·
||2表示l2范数。arg min a(x)subject to b(x)表示在b(x)成立的情况下，a(x)取最小值时，x的取值。
[0214]
实施例6：
[0215]
兼容任意几何形状平面传感器阵列的二维超分辨率波达方向估计方法，主要步骤见实施例5，所述干扰向量包括：传感器实际测量时的干扰信号、用有限快拍的均值替代期望引起的干扰和bessel函数阶截断引起的干扰。
[0216]
实施例7：
[0217]
兼容任意几何形状平面传感器阵列的二维超分辨率波达方向估计方法，主要步骤见实施例2，在步骤5)中，求解实测信号协方差去干扰数学模型如下所示：
[0218][0219][0220]
式中，t
α
和t
β
均为hermitian toeplitz矩阵，tr(
·
)表示矩阵的迹，符号“≥0”表示半正定，为α辅助矩阵，为β辅助矩阵。式(15)所示为半正定规划为标准凸优化问题。
[0221]
实施例8：
[0222]
兼容任意几何形状平面传感器阵列的二维超分辨率波达方向估计方法，主要步骤见实施例7，所述协方差去干扰数学模型的求解工具包括：cvx工具箱中的sdpt3求解器。
[0223]
实施例9：
[0224]
兼容任意几何形状平面传感器阵列的二维超分辨率波达方向估计方法，主要步骤见实施例2，在步骤6)中，基于矩阵束与配对法，利用α辅助矩阵和β辅助矩阵得到信号源doa的估计结果的步骤包括：
[0225]
6.1)估计信号源的数目保留矩阵c
★
中大于阈值的特征值，删除矩阵c
★
中小于阈值的特征值，并将保留的特征值个数作为信号源数目。
[0226]
6.2)从矩阵中提取从矩阵中提取并根据多信号分类法，配对和
[0227]
6.3)计算信号源并量化源强。
[0228]
实施例10：
[0229]
兼容任意几何形状平面传感器阵列的二维超分辨率波达方向估计方法，主要步骤见实施例9，步骤6.2)中，从矩阵中提取从矩阵中提取并根据多信号分类法，配对和的步骤如下：
[0230]
6.2.1)特征值分解。
[0231][0232]
式中，u1为矩阵的特征向量构成的酉矩阵，λ1为矩阵的特征值构成的对角矩阵。u2为矩阵的特征向量构成的酉矩阵，λ2为矩阵的特征值构成的对角矩阵。
[0233]
6.2.2)记为矩阵的个保留的特征值的平方根构成的对角矩阵，为矩阵的个保留的特征值的平方根构成的对角矩阵，为矩阵的个保留的特征值对应的特征向量构成的矩阵，为矩阵的个保留的特征值对应的特征向量构成的矩阵，令特征值对应的特征向量构成的矩阵，令删除y的最后一行得删除y'的最后一行得删除y的第一行得删除y'的第一行得计算矩阵束(yd,yu)的广义特征值得计算矩阵束(y'd,y'u)的广义特征值得u、v分别为矩阵束(yd,yu)、矩阵束(y'd,y'u)的广义特征值序数。
[0234]
6.2.3)矩阵束(yd,yu)的广义特征值取虚部并去重根得矩阵束(y'd,y'u)的广义特征值取虚部并去重根得
[0235]
6.2.4)利用多信号分类法为找到配对的v，如下所示：
[0236][0237]
式中，g(u)为映射函数，自变量为u，函数值为与u配对的v，由矩阵c
★
的个删除的特征值对应的特征向量构成，上标“h”表示转置共轭。(xm,ym)为传感器坐标，λ为波长。
[0238]
6.2.5)根据和匹配的v，将对应的写入同一向量集，得到
[0239]
实施例11：
[0240]
兼容任意几何形状平面传感器阵列的二维超分辨率波达方向估计方法，主要步骤
见实施例9，步骤6.3)中，计算信号源并量化源强的步骤如下：
[0241]
6.3.1)根据sinα≡sinθcosφ，sinβ≡sinθsinφ，从中计算得
[0242]
6.3.2)源强如下所示：
[0243][0244]
式中，为信号源在传感器处产生信号构成的矩阵，为根据估计的信号源doa计算的感知矩阵，上标“+”表示伪逆，为量化的源强。
[0245]
实施例12：
[0246]
兼容任意几何形状平面传感器阵列的二维超分辨率波达方向估计方法，本发明按以下步骤：
[0247]
步骤1、将源在传感器处产生信号的协方差表示为源强二维傅里叶逆变换的相关形式
[0248]
空间内任意源的doa可用(θ,φ)表示，θ∈[0,π/2]为仰角，即笛卡尔坐标系的正z轴与原点到源连线间的夹角，φ∈[0,2π)为方位角，即正x轴与原点到源连线在xy平面投影间的夹角。令sinα≡sinθcosφ、sinβ≡sinθsinφ。源在笛卡尔坐标为(xm,ym,0)的传感器处产生的信号可表示为：
[0249][0250]
其中，m＝1,2,
…
,m为传感器索引，i＝1,2,
…
,i为源索引，si为i号源的强度，为虚数单位，λ为波长，sinαi和sinβi由i号源的doa(θi,φi)计算得出。令m'＝1,2,
…
,m亦为传感器索引，源互不相干时，pm和pm'间的协方差可表示为：
[0251][0252]
其中，表示期望，上标“*”表示共轭，为i号源的均方强度，符号“|
·
|”表示取模，δx
mm'
＝x
m-x
m'
，δy
mm'
＝y
m-y
m'
。
[0253]
记jn(z)为以z为自变量的n阶第一类bessel函数，数值模拟不同z和n取值下的|jn(z)|，结果如图1(a)示。显然，对特定z，n足够大或足够小时，|jn(z)|≈0。记n为使|jn(z)|≈0(小于10-4)的最小正阶，由于j-n
(z)＝(-1)
njn
(z)，则|n|≥n时，|jn(z)|≈0。从图1(a)中搜索不同z对应的n值，所得结果如图1(b)中
“●”
示，由此拟合得n随z的变化关系式为：
[0254][0255]
其中，符号表示将数值向正无穷方向圆整到最近的整数。式(3)对应图1(b)中曲线。相应地，jacobi-anger恒等式可写为：
[0256]
[0257]
根据式(4)，式(2)可写为：
[0258][0259]
其中，n
x
＝f(2πδx
mm'
/λ)和ny＝f(2πδy
mm'
/λ)分别为x和y维上n的取值，可看作源强的二维傅里叶逆变换。
[0260]
令n1＝f(2π[δx
mm'
]
max
/λ)、n2＝f(2π[δy
mm'
]
max
/λ)，其中，[δx
mm'
]
max
和[δy
mm'
]
max
分别为所有δx
mm'
和δy
mm'
中的最大值。构建矩阵
[0261][0262][0263]
其中，为实数集。构建向量为实数集。构建向量和其中，上标“t”表示转置，为复数集。根据式(5)，如下关系成立：
[0264][0265]
其中，diag(
·
)表示括号内矩阵的对角线元素构成的向量。
[0266]
步骤2、基于解耦原子范数最小化去除实测信号协方差中的干扰
[0267]
记为传感器实测信号构成的矩阵，其中，l为数据快拍总数。所有实测信号间的协方差构成的矩阵可计算为其中，上标“h”表示转置共轭。记为c
★
的列堆叠而成的向量。根据式(8)，c
★
可表示为：
[0268][0269]
其中，可称为干扰向量，由传感器实测信号中的干扰信号、用有限快拍的均值替代期望、bessel函数阶截断等因素引起。
[0270]
令根据凸几何理论，b的原子范数可定义为：
[0271]
[0272]
其中，为原子集合，为正实数集。可用于在连续域内量度源分布的稀疏性。通过求解如下原子范数最小化问题可去除c
★
中的干扰：
[0273][0274]
其中，ε为干扰控制参数，||
·
||2表示l2范数。
[0275]
式(11)所示最小化问题可转化为如下解耦半正定规划进行求解：
[0276][0277][0278]
其中，t
α
和t
β
均为hermitian toeplitz矩阵，tr(
·
)表示矩阵的迹，符号“≥0”表示半正定。式(12)所示半正定规划为标准凸优化问题，可用cvx工具箱中的sdpt3求解器求解。
[0279]
步骤3、基于矩阵束与配对法进行源doa估计
[0280]
以式(12)求解的和中包含源的doa信息，可采用如下矩阵束与配对步骤进行提取：
[0281]
1)估计源数目用c
★
的较大特征值个数作为源数目。
[0282]
2)从中提取首先，特征值分解
[0283][0284]
其中，为的特征向量构成的酉矩阵，为的特征值构成的对角矩阵。的较大特征值的个数是源数目的双倍。记为个较大特征值的平方根构成的对角矩阵，为个较大特征值对应的特征向量构成的矩阵，令然后，删除y的最后一行得删除y的第一行得计算矩阵束(yd,yu)的广义特征值得最后，取虚部并去重根得
[0285]
3)从中提取具体方法与第2)步中类同，最终得
[0286]
4)配对和依据多信号分类法，计算下列函数来依次为找到配对的v：
[0287]
[0288]
其中，由c
★
的个较小特征值对应的特征向量构成。最终得简记为
[0289]
5)计算源根据(sinα,sinβ)与(θ,φ)的关系，从中可计算得获得源doa后，源强可量化为：
[0290][0291]
其中，为根据估计的源doa计算的感知矩阵，上标“+”表示伪逆。
[0292]
本发明提出的兼容任意几何形状平面传感器阵列的二维超分辨率doa估计方法的基本执行步骤如下：
[0293]
输入：传感器实测信号传感器坐标，波长λ，干扰控制参数ε。
[0294]
1.由p
★
计算协方差矩阵c
★
和向量c
★
。
[0295]
2.以传感器坐标和λ为输入，根据式(3)计算bessel函数最高阶n1和n2，根据式(6)和(7)计算j
x
和jyj2。
[0296]
3.以c
★
，j
x
，jy和ε为输入，求解式(12)示半正定规划，得和
[0297]
4.以c
★
，和为输入，按步骤3所示过程获得源doa。
[0298]
5.根据式(15)，量化源强。
[0299]
实施例13：
[0300]
兼容任意几何形状平面传感器阵列的二维超分辨率波达方向估计方法，为分析并验证本发明方法的doa估计性能，对其进行了仿真试验。
[0301]
假设三个源，doa依次为(15
°
,45
°
)、(40
°
,235
°
)和(70
°
,300
°
)，强度(参考最大值)依次为0db、-3db和-6db，辐射信号波长为0.17m。依次采用图2(a)-(d)示的四种平面阵进行测量，数据快拍总数取为100，添加信噪比为20db的干扰信号。图2(e)-(h)为源doa估计结果，显然，不论采用哪种几何形状的平面阵，源doa均被准确估计。
[0302]
进行蒙特卡罗仿真时，定义如下均方根误差(root mean square error,rmse)来衡量源doa估计精度：
[0303][0304]
其中，δω
si,d
为第d次蒙特卡罗计算中i号源doa的估计值与真实值间的角距离，[δω
si,d
|δω
si,d
≤t]为所有不大于t的δω
si,d
组成的列向量，size(
·
)表示括号内向量包含的元素个数。条件δω
si,d
≤t的运用是为了将δω
si,d
很大的特殊样本剔除，这些样本出现的概率很低，但显著增大rmse，导致对doa估计误差的评价不公平客观。δω
si,d
的定义式为：
[0305][0306]
其中，和(θ
si,d
,φ
si,d
)分别为第d次蒙特卡罗计算中i号源doa的估计值和
真实值。每次计算中，按照doa最近原则配对估计源与真实源：若(估计的源总数)不小于i(真实的源总数)，取估计的前i个强源与真实源逐一配对；若小于i，将估计源与个真实源逐一配对，剩下的个源丢失，对应的δω
si,d
为∞。
[0307]
改变信噪比和数据快拍总数进行蒙特卡罗计算，每对信噪比和数据快拍总数下进行100次计算，每次计算随机生成各快拍下的源强和干扰信号。图2(a)-(d)示四种几何形状平面阵对应的rmse结果类同，为节约篇幅，图3以图2(d)示扇形轮平面阵为例呈现了rmse柱状图，显然，信噪比大于等于15db时，rmse很低，最大不超过1.3
°
，且随着信噪比和数据快拍总数的增大，rmse变得更小。这证明干扰不过强时本发明方法能高概率准确估计源doa。

技术特征：
1.兼容任意几何形状平面传感器阵列的二维超分辨率波达方向估计方法，其特征在于，包括以下步骤：1)布置平面传感器阵列；2)基于二维傅里叶逆变换，建立信号源在任意两个传感器处产生的强度信号之间的协方差方程；3)利用平面传感器阵列，测量信号源在传感器处的信号，得到实测信号p
★
，并计算出协方差矩阵c
★
和协方差向量c
★
。4)利用协方差方程和协方差向量c
★
得到实测协方差矩阵c0★
，并基于原子范数最小化方法建立实测信号协方差去干扰数学模型。5)求解实测信号协方差去干扰数学模型，得到α辅助矩阵和β辅助矩阵6)基于矩阵束与配对法，利用α辅助矩阵和β辅助矩阵得到信号源doa的估计结果。2.根据权利要求1所述的兼容任意几何形状平面传感器阵列的二维超分辨率波达方向估计方法，其特征在于，在步骤2)中，基于二维傅里叶逆变换，建立信号源在任意两个传感器处产生的强度信号之间的协方差方程的步骤包括：2.1)以平面传感器阵列中心作为原点，建立笛卡尔坐标，设定平面传感器阵列中传感器的笛卡尔坐标为(x
m
,y
m
,0)，m＝1,2,
…
,m为传感器索引，空间内任意信号源的doa为(θ
i
,φ
i
)，θ
i
为笛卡尔坐标系的正z轴与原点到信号源连线间的夹角，φ
i
为正x轴与原点到信号源连线在xy平面投影间的夹角；i＝1,2,
…
,i为信号源索引，空间内任意信号源在传感器(x
m
,y
m
,0)处产生的强度信号p
m
如下所示：式中，s
i
为第i个信号源的强度，为虚数单位，λ为波长，参数sinα
i
≡sinθ
i
cosφ
i
，参数sinβ
i
≡sinθ
i
sinφ
i
；信号源在任意两个传感器处产生的信号的协方差如下所示：式中，c
mm'
为信号源在任意两个传感器处产生的信号的协方差，m和m'均为传感器索引，m＝1,2,
…
,m，m'＝1,2,
…
,m，m≠m'，表示期望，p
m
为m信号源在传感器处产生的信号，为m'信号源在传感器处产生的信号的共轭，为第i个信号源的均方强度，s
i
为第i个信号源的强度，符号“|
·
|”表示取模，δx
mm'
＝x
m-x
m'
，δy
mm'
＝y
m-y
m'
；x
m
和x
m'
均为传感器的笛卡尔横坐标，y
m
和y
m'
均为传感器的笛卡尔纵坐标，为虚数单位，λ为波长，参数sinα
i
≡sinθ
i
cosφ
i
，参数sinβ
i
≡sinθ
i
sinφ
i
；(θ
i
,φ
i
)为空间内任意信号源的doa；2.2)构建以z为自变量的n阶第一类bessel函数j
n
(z)，数值模拟不同z和n取值下的函数|j
n
(z)|，拟合出使|j
n
(z)|≈0的最小正阶n如下所示：
n＝f(z)
ꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀ
(3)式中，f(z)为不同z对应的使|j
n
(z)|≈0的最小正阶表达式；2.3)jacobi-anger恒等式如下所示：由此公式(2)可改写成：式中，n
x
＝f(2πδx
mm'
/λ)、n
y
＝f(2πδy
mm'
/λ)分别为x、y维上n的取值，分别为x、y维上的n阶第一类bessel函数，n
x
、n
y
分别为x、y维上n的取值；2.4)作为源强的二维傅里叶逆变换；2.5)构建矩阵j
x
和j
y
；；式中，n1＝f(2π[δx
mm'
]
max
/λ)、n2＝f(2π[δy
mm'
]
max
/λ)，[δx
mm'
]
max
、[δy
mm'
]
max
分别为所有δx
mm'
、δy
mm'
中的最大值，m和m'均为传感器索引，m＝1,2,
…
,m，m'＝1,2,
…
,m，m≠m'，δx
mm'
＝x
m-x
m'
，δy
mm'
＝y
m-y
m'
；x
m
和x
m'
均为传感器的笛卡尔横坐标，y
m
和y
m'
均为传感器的笛卡尔纵坐标，λ为波长，f(
·
)为不同自变量对应的使|j
n
(
·
)|≈0的最小正阶表达式；j
n
(
·
)为n阶第一类bessel函数；为实数集；2.6)令向量其中，c
mm'
为信号源在任意两个传感器处产生的信号的协方差，上标“t”表示转置，为复数集，信号源在任意两个传感器处产生的信号的协方差方程如下所示：式中，diag(
·
)表示括号内矩阵的对角线元素构成的向量；为第i个信号源的均方强度，s
i
为第i个信号源的强度，符号“|
·
|”表示取模，表示期望；向量d(α
i
)和向量d(β
i
)如公式(9)和公式(10)所示：
式中，参数sinα
i
≡sinθ
i
cosφ
i
，参数sinβ
i
≡sinθ
i
sinφ
i
。3.根据权利要求1所述的兼容任意几何形状平面传感器阵列的二维超分辨率波达方向估计方法，其特征在于，在步骤3)中，记为传感器实测信号构成的矩阵，其中，l为数据快拍总数；信号源在不同传感器处实测信号的协方差矩阵c
★
如下所示：式中，为源在传感器处产生信号构成的矩阵，l为数据快拍总数；上标“h”表示转置共轭；协方差向量为协方差矩阵c
★
的列堆叠而成的向量。4.根据权利要求1所述的兼容任意几何形状平面传感器阵列的二维超分辨率波达方向估计方法，其特征在于，在步骤4)中，所述基于原子范数最小化方法以连续域内源分布稀疏性为约束；利用协方差方程和协方差向量c
★
得到实测协方差矩阵c0★
，并基于原子范数最小化方法建立实测信号协方差去干扰数学模型的步骤包括：4.1)利用协方差方程和协方差向量c
★
，得到实测协方差矩阵c0★
如下所示：式中，为干扰向量；4.2)设定根据凸几何理论，b的原子范数定义为：式中，为原子集合，为正实数集，inf(
·
)为取下限函数；4.3)通过求解原子范数最小化的参数去除实测协方差矩阵c0★
中的干扰，如下所示：式中，ε为干扰控制参数，||
·
||2表示l2范数；argmin a(x)subject to b(x)表示在b(x)成立的情况下，a(x)取最小值时，x的取值。5.根据权利要求4所述的兼容任意几何形状平面传感器阵列的二维超分辨率波达方向估计方法，其特征在于，所述干扰向量包括：传感器实际测量时的干扰信号、用有限快拍的均值替代期望引起的干扰和bessel函数阶截断引起的干扰。6.根据权利要求1所述的兼容任意几何形状平面传感器阵列的二维超分辨率波达方向估计方法，其特征在于，在步骤5)中，求解实测信号协方差去干扰数学模型如下所示：
式中，t
α
和t
β
均为hermitian toeplitz矩阵，tr(
·
)表示矩阵的迹，符号“≥0”表示半正定，为α辅助矩阵，为β辅助矩阵。7.根据权利要求6所述的兼容任意几何形状平面传感器阵列的二维超分辨率波达方向估计方法，其特征在于，所述协方差去干扰数学模型的求解工具包括：cvx工具箱中的sdpt3求解器。8.根据权利要求1所述的兼容任意几何形状平面传感器阵列的二维超分辨率波达方向估计方法，其特征在于，在步骤6)中，基于矩阵束与配对法，利用α辅助矩阵和β辅助矩阵得到信号源doa的估计结果的步骤包括：6.1)估计信号源的数目保留矩阵c
★
中大于阈值的特征值，删除矩阵c
★
中小于阈值的特征值，并将保留的特征值个数作为信号源数目；6.2)从矩阵中提取从矩阵中提取并根据多信号分类法，配对和6.3)计算信号源并量化源强。9.根据权利要求8所述的兼容任意几何形状平面传感器阵列的二维超分辨率波达方向估计方法，其特征在于，步骤6.2)中，从矩阵中提取从矩阵中提取并根据多信号分类法，配对和的步骤如下：6.2.1)特征值分解；式中，u1为矩阵的特征向量构成的酉矩阵，λ1为矩阵的特征值构成的对角矩阵；u2为矩阵的特征向量构成的酉矩阵，λ2为矩阵的特征值构成的对角矩阵；6.2.2)记为矩阵的个保留的特征值的平方根构成的对角矩阵，为矩阵的个保留的特征值的平方根构成的对角矩阵，为矩阵的个保留的特征值对应的特征向量构成的矩阵，为矩阵的个保留的特征值对应的特征向量构成的矩阵，令删除y的最后一行得删除y'的最后一行得删除y的第一行得删除y'的第一行得计算矩阵束(y
d
,y
u
)的广义特征值得计算矩阵
束的广义特征值得u、v分别为矩阵束(y
d
,y
u
)、矩阵束(y'
d
,y'
u
)的广义特征值序数；6.2.3)矩阵束(y
d
,y
u
)的广义特征值取虚部并去重根得矩阵束(y'
d
,y'
u
)的广义特征值取虚部并去重根得6.2.4)利用多信号分类法为找到配对的v，如下所示：式中，g(u)为映射函数，自变量为u，函数值为与u配对的v，由矩阵c
★
的个删除的特征值对应的特征向量构成，上标“h”表示转置共轭；(x
m
,y
m
)为传感器坐标，λ为波长；6.2.5)根据和匹配的v，将对应的写入同一向量集，得到10.根据权利要求8所述的兼容任意几何形状平面传感器阵列的二维超分辨率波达方向估计方法，其特征在于，步骤6.3)中，计算信号源并量化源强的步骤如下：6.3.1)根据sinα≡sinθcosφ，sinβ≡sinθsinφ，从中计算得6.3.2)源强如下所示：式中，为信号源在传感器处产生信号构成的矩阵，为根据估计的信号源doa计算的感知矩阵，上标“+”表示伪逆，为量化的源强。

技术总结
兼容任意几何形状平面传感器阵列的二维超分辨率波达方向估计方法，包括以下步骤：1)布置平面传感器阵列；2)基于二维傅里叶逆变换，建立信号源在任意两个传感器处产生的强度信号之间的协方差方程；3)利用平面传感器阵列，测量得到实测信号P


技术研发人员：杨洋 杨咏馨 温逸云 褚志刚
受保护的技术使用者：重庆工业职业技术学院
技术研发日：2023.02.24
技术公布日：2023/7/22