一种对回旋加速器平均场与一次谐波误差同时垫补的方法与流程

1.本发明属于回旋加速器领域，尤其涉及一种对回旋加速器平均场与一次谐波误差同时垫补的方法。


背景技术：

2.对于回旋加速器主磁场进行垫补则，是确保主磁场分布与物理设计一致的唯一方法。因此，为了建造出性能优良的强流回旋加速器，必须要对主磁铁的磁场进行精确垫补。
3.在实际主磁铁工程加工中，存在等时性磁场误差和一次谐波磁场误差：初步加工后的主磁场常常偏离理论等时性磁场，这将导致加速过程中粒子的回旋频率与高频的频率失谐，甚至有时粒子进入减速区，从而丢失在加速器内，最终粒子无法被正常引出；同时，由于一些主磁铁加工或安装误差的存在，这些机械畸变会造成磁场引入一次谐波分量，它会使粒子的横向震荡振幅加大，束流的循环发射度迅速增长，造成束流损失。
4.目前，现有的理论方法只能很好的对磁场的等时性误差进行垫补，垫补后的磁场能够使离子满足等时性的条件。但是对于一次谐波的垫补，尽管在理论上有计算方法，但采用该方法只能在磁场等时性误差大部分通过垫补被消除的基础上，依靠一些工程经验对一次谐波进行垫补，无法同时对等时性误差和一次谐波误差进行同时精确垫补，并且采用该方法会导致磁场垫补的迭代次数比较多。这对于现在的强流回旋加速器批量化生产而言是不可接受的。
5.现有技术之所以只能仅凭借一些工程经验对其进行垫补，是因为按照常规一次谐波的垫补经验行不通：常规对一次谐波的垫补经验如图4所示，在不改变主磁铁等时性的基础上，人为的再引入一个反向的一次谐波，那么二者就会相互抵消，从而达到消去磁场一次谐波的目的。引入一个反向的一次谐波的方法是：对于四扇形回旋加速器，以180度对称的两个磁极为一组。对任意一组磁极进行操作，为了不改变平均场，以水平方向180度对称的磁极为例，对右侧磁极的侧边增加凸起的垫补块结构，对左侧削去同样垫补块从而形成内凹的磁极结构。一边的磁场增强，另一边的磁场减弱，二者的变化量相同，那么磁场的平均场就与未做切削时相同，原因是此时的场引入了一个反方向的一次谐波。同理也可以对竖直方向180度对称的另外一组磁极操作，通过两组磁极引入一次谐波的耦合就可以抵消掉原有磁场的一次谐波，按照这样的一次谐波引入原理，不但不会影响磁场的等时性，还能够垫补掉谐波。
6.但遗憾的是，在实际的机械加工中，我们采用机床铣刀改变镶条形状，对镶条的加工只能采取切削的方法，无法做到往磁极上贴垫补块，因为后贴上的垫补块很难保证和原来的材料一致，材料不一致，磁场的均匀性就很难保证。基于材料一致性的原因，工程上对磁极的垫补只能切削不能增加。工程上为了解决“对磁极的垫补只能切削不能增加”的问题，采取了一种基于工程经验的方法，该方法是：在垫补等时性磁场的时候，适当切一刀，所述采用“适当切一刀”，是基于等时性磁场误差远远大于一次谐波误差的原理，假如等时性磁场误差为1000高斯，一次谐波磁场误差只有几十高斯。由于一次谐波磁场误差远远小于
等时性磁场误差，所以当需要往磁极上贴一次谐波垫补块时，替换为对等时性误差垫补块少切一点的办法，用以间接地达到“往磁极上贴一次谐波垫补块”的目的。
7.但这种基于工程经验“适当切一刀”的方法由于不能高效地垫补一次谐波，往往要反复五、六次才能完成等时性磁场误差和一次谐波磁场误差的垫补。反复五、六次才能完成的原因是：等时性磁场误差和一次谐波磁场误差的垫补是在不同时间进行的：先进行等时性磁场误差的垫补后进行一次谐波磁场误差的垫补，因此，等时性磁场误差垫补时不能一次性切削到位，而必须“少切一些”留作一次谐波的垫补，之所以“少切一些”而不能“多切一些”是因为一旦“切多了”只能整个磁极报废，为了“不切多”，只能试验多次，直到当前的切削满足等时性和一次谐波垫补的要求，所以需要反复五、六次才能完成垫补。


技术实现要素：

8.本发明为解决现有技术的问题，提出一种对回旋加速器平均场与一次谐波误差同时垫补的方法，目的在于解决现有技术等时性磁场误差和一次谐波磁场误差的垫补不同同时进行的、需要反复五、六次才能完成等时性磁场误差和一次谐波磁场误差的垫补的问题。
9.本发明为解决其技术问题采用以下技术方案：
10.一种基于多元线性回归的回旋加速器主磁场垫补算法，其特点是:包括以下步骤：
11.步骤一、通过有限元模型仿真计算出对应的回旋加速器主磁场垫补矩阵a,所述垫补矩阵a为涵盖了所有基于有限元模型计算对各个磁极各个切削点进行切削所引起的等时性误差和一次谐波误差函数关系的垫补矩阵a；
12.步骤二、解垫补方程：b＝a
·
x+ε，b为磁场总误差矩阵,该磁场总误差矩阵为实际测量的主磁极在每个切削点半径处的磁场与在该半径处物理设计的磁场进行比较，而得到的总误差矩阵，该总误差矩阵包括每个切削点的平均场变化矩阵和一次谐波变化矩阵β；a为垫补矩阵a，该垫补矩阵a为根据有限元模型计算得到的反应主磁极每个切削点切削所引起磁场变化函数关系的垫补矩阵a；x为切削量矩阵，该切削量矩阵x是指为了消除实际加速器磁场误差、根据已知的b和已知的a计算得到的每个主磁极每个切削点所需切削量的矩阵；ε为方程的一个扰动，它的数学期望值为零，求解方程时认为其为零；
13.所述切削点、各个切削点或每个切削点均为当前磁极两条边上同半径处的切削点。
14.进一步地，所述步骤一具体过程如下：
15.1)对主磁极的每个磁极的两条边分别沿着半径划分m个切削点；
16.2)利用有限元模型仿真，对第一个磁极的两条边上m个切削点分别单独切削相同单位厚度的切削量，建立m个加速器模型，此时模型的磁极由于切削后不再具有对称性，会同时引入平均场误差、以及一次谐波误差；对m个切削后的模型分别计算磁场并与模型没有切削时的磁场作比较，就能计算出这m个切削点分别切削单位厚度时所分别引入的平均场误差、以及一次谐波误差；
17.3)有限元模型计算过程如下：比如，对第一个磁极的第一个切削点进行切削单位厚度后，计算得到一个新的磁场分布，将其与模型未切削时的磁场分布作比较，得到一个平均场误差矩阵、以及得到一个一次谐波误差矩阵；同理，对第二个切削点切削相同单位厚度后计算磁场分布，与未切削时的磁场分布作比较，得到第二个切削点对应的总误差矩阵b，
那么对于第一个磁极的m个切削点，计算后，总共得到m个误差矩阵b。
18.这个平均场差值矩阵用表示：
[0019][0020]
表示在第一个切削点半径处的平均场误差值，平均场差值矩阵中总共有m个元素，矩阵括号的右上角标t表示矩阵的转置；
[0021]
由于一次谐波既有大小又有方向，因此需作相位分解，才能将其表示出来。该个一次谐波分解值矩阵用一次谐波矩阵β表示：
[0022]
β＝[β1sinφ1,β2sinφ2,
…
,βmsinφm,β1cosφ1,β2cosφ2,
…
,βmcosφm]
t
ꢀꢀꢀ
(2)
[0023]
表示在第一个切削点处的一次谐波幅值，与表示第一个切削点处的一次谐波相位,也即每一个切削点对应一次谐波误差矩阵的两个元素，角标m为不同半径处，一次谐波误差矩阵总共有2m个元素，矩阵括号的右上角标t表示矩阵的转置；
[0024]
将平均场误差值矩阵和一次谐波误差矩阵耦合，用一个总的误差矩阵b，该总误差矩阵b为第一个磁极第一个半径切削单位厚度所对应的总误差矩阵，b表示为：
[0025][0026]
右上角标t表示矩阵的转置，总误差矩阵b包含有3m个元素
[0027]
4)重复过程2)、过程3)，一直对第二、三、四个磁极的每个切削点分别单独进行切削，每个磁极再建立3m个模型，分别计算磁场，与未切削模型作比较，分别得到各自模型对应的总误差矩阵b，则总共得到四个磁极共4m个切削点分别单独切削后计算所得到4m个总误差矩阵b，这4m个总误差矩阵b与四个磁极上切削点分别单独切削后的4m个切削量矩阵x一一对应，将被用于求解垫补矩阵a；
[0028]
5)垫补量矩阵用x表示：不同垫补块切削量用表示，其中p指：第p块磁极，m指：垫补切削点的序号，右上角标t表示矩阵的转置，那么四个磁极的总切削量矩阵可以表示为：
[0029][0030]
比如，对于在第一个磁极第一个切削点被切削单位厚度的有限元仿真模型，它的垫补量矩阵x表示为：
[0031]
x＝[1,0,0,
…
]
t
ꢀꢀꢀꢀ
(5)
[0032]
除了第一个元素为单位1外，其余的4m-1个元素都为0，因为该模型中所有切削点，就只有第一个磁极第一个切削点被切除，因此对于上述的4m模型的切削量矩阵x,都能分别表示出来，总共得到4m个切削量矩阵x。
[0033]
6)根据有限元模型计算所得到的4m个垫补量矩阵x与其所对应的4m个总磁场误差矩阵b，分别一一带入下述垫补方程，总共有4m组方程。根据线性代数计算，即可以求解出垫补矩阵a内的所有元素，也即获得了主磁极总的垫补矩阵a：
[0034][0035]
进一步地，所述步骤二具体过程如下：
[0036]
1)建立垫补方程，垫补方程为
[0037]
b＝a
·
x+ε
ꢀꢀꢀꢀ
(7)
[0038]
其中，b为采用磁场测量装置对实际加速器磁场测量得到的总误差矩阵,该磁场总误差矩阵b为实际测量的主磁极每个切削点的平均场误差矩阵与一次谐波误差矩阵耦合后得到的总误差矩阵，a为垫补矩阵a，该垫补矩阵a为根据有限元模型计算得出的垫补矩阵a；x为切削量矩阵，表示实际的加速器为了消除其磁场误差，而在各个磁极各个半径处所需要的切削量，根据垫补方程，在已经知道b和a的基础上求解不同磁场不同半径处的垫补量x；
[0039]
2)测量主磁极每个磁极沿着半径上每个切削点的当前磁场；
[0040]
2)用每个切削点实际测量的当前磁场和理论设计磁场进行差值计算、得到每个切削点实际测量的平均场差值；
[0041]
3)用每个切削点实际测量的一次谐波磁场误差作为该切削点的最终一次谐波磁场误差；
[0042]
4)用实际测量的主磁极每个切削点的平均场差值和每个切削点的一次谐波磁场误差，组成该主磁极的总的磁场变化矩阵b；
[0043]
5)在已经知道b和a的基础上求解不同磁场不同半径处的垫补量：
[0044]
x＝(a
t
a)-1atbꢀꢀꢀꢀ
(8)
[0045]
此时有：b：3m 1阶矩阵,：4 1阶矩阵，由于：4m，此时方程组为欠定方程组，方程有无穷多的解；其中右上角标t表示矩阵的转置。
[0046]
6)采用基于最小正交化法解法，来处理欠定方程组，在所有的解中，只有一个是最接近原点的，也就是是我们要寻找的解，因此对不同磁极不同半径处的切削垫补量x可以被计算出来。
[0047]
本发明的优点效果
[0048]
本发明通过采用有限元模型找出同时垫补主磁极各个切削点等时性误差和一次谐波误差的函数关系a的方法、通过有限元模型只对一个磁极的一个切削点切削，而其它切削点都恢复为没有被切削的状态的方法、通过基于最小正交化法解法处理欠定方程组从而找到唯一的解的方法，实现了每个切削点同时垫补等时性磁场误差和一次谐波磁场误差，有效提高了垫补效率，从现有技术需要五、六次反复才能完成垫补，到改进后只需要最多2
次就可以完成垫补，产生了质的飞跃。
附图说明
[0049]
图1为本发明只对第一个磁极进行切削示意图；
[0050]
图2为本发明在第一个磁极的r1处切削单位垫补块后，在各个半径处引入的一次谐波幅值和相位；
[0051]
图3为本发明分别对第2、3、4块磁极作同样处理示意图；
[0052]
图4为现有的一次谐波垫补方法局限性示意图；
[0053]
图5为本发明处理方法流程图；
具体实施方式
[0054]
本发明设计原理
[0055]
1、本发明创新点：工程上同时进行等时性磁场精确垫补和一次谐波磁场精确垫补，由于是同时垫补使得垫补效率很高，只需要1-2次就可以完成当前切削点的垫补。而现有技术一个切削点需要五、六次才能完成垫补。
[0056]
2、设计原理
[0057]
第一、采用有限元模型找出主磁极上各个切削点的等时性误差和一次谐波误差和垫补块切削量的函数关系a,有了这个函数关系a，就可以求得实际磁场的垫补块的切削量。本发明和现有技术的区别在于：这个函数关系a,是同时涵盖了主磁极每个切削点等时性误差和一次谐波误差的函数关系，因此，当根据这个函数关系计算出垫补块的切削量，“一刀下去”进行垫补块切削时，是同时垫补了当前切削点的等时性磁场误差和一次谐波磁场误差，而不是先“一刀下去”只垫补等时性磁场误差，再“一刀下去”垫补一次性谐波磁场误差。
[0058]
第二、有限元模型的设计：
①
永远当前只有一个一个磁极的一个切削点被切削，而其它切削点都恢复为没有被切削的状态。如图1、图3所示，本发明有限元模型设计方法为：对第一个磁极的第一个切削点进行切削单位厚度后，计算得到一个新的磁场分布，将其与模型未切削时的磁场分布作比较，得到一个平均场误差矩阵以及得到一个一次谐波误差矩阵β；同理，对第二个切削点切削相同单位厚度后计算磁场分布，与未切削时的磁场分布作比较，得到第二个切削点对应的总误差矩阵b，值得注意的是，如图3左边第一个图所示，在对第二个切削点进行切削时，图3左边第一个图的第一个磁极1又恢复为没有切削的状态，当对第三个磁极的切削点进行切削时，第一个磁极和第二个磁极又恢复了没有切削的状态，假设每个磁极沿着半径有50个切削点，四个磁极共有200个切削点，在对第200个切削点进行切削时，前面199个切削点都恢复为没有切削的状态。
②
对当前切削点“同时”引入等时性磁场误差和一次谐波误差的原理：“切一刀”下去产生等时性磁场误差的原理：等时性磁场是指转一圈的平均磁场误差，当只对其中一个磁极切削了垫补块时，虽然只是对一个磁极的一个点进行了切削，但是该半径处整圈的平均磁场也弱了，再用整圈没有被切削的一圈的平均磁场和当前比较，就出现了等时性磁场误差；“切一刀”下去同时产生一次谐波磁场误差的原理：由于每次只对当前一个切削点进行切削，并且其它切削点都是未被切削的状态，这就必然产生一次谐波磁场误差，因为未切削以前四个磁极是均匀对称的，不会产生一次谐波，切削以后，由原来的对称变为非对称，所以肯定会产生一次谐波。现有技术
采用相同半径处四个磁极的切削点一起切削的方法，虽然能够产生等时性磁场误差，但由于是四个磁极一起切削，切削后四个磁极的相同半径处由于切削块的大小也是一样的，所以四个磁极仍然是对称的，所以该方法一定不会产生一次谐波；
[0059]
第三、欠定方程是设计难点及解决方法。现有技术的有限元模型只是针对等时性磁场误差设计的，是四个磁极一起切，每一圈只有一个等时性磁场误差变化量，假设每个磁极有50个切削点，一共50个等时性磁场误差变化量，因为x也是一圈的x而非一个磁极的x,所以x未知数也是50，在垫补方程中，
[0060]
b＝a
·
x+ε
[0061]
方程个数b和未知数切削量x的数量是一样的，都是50，由于方程个数和未知数相同所以这个方程是很容易求解的。本发明“切一刀”下去会产生三个磁场误差变化量而不是一个，所述三个磁场误差变化量包括一个平均场磁场误差变化量和二个一次谐波分量磁场变化量，如此，使得垫补方程的b磁场变化量为150个，而四个磁极每个磁极有50个切削点，由于一次谐波是以每个磁极的每个切削点为计算单位，而非以四个磁极一整圈的切削点为计算单位，因此本发明四个磁极未知数x有200个，因此方程个数b小于未知数个数200为欠定方程。本发明采用基于最小正交化法解法来处理欠定方程组，在所有的解中，只有一个是最接近原点的，也就是是我们要寻找的解，因此对不同磁极不同半径处的切削垫补量x可以被计算出来。
[0062]
求解欠定方程组原理见论文：
[0063]
[1]程晓良,郑璇,韩渭敏.求解欠定线性方程组稀疏解的算法[j].高校应用数学学报：a辑,2013(2):14.
[0064]
基于以上原理，本发明设计了一种对回旋加速器平均场与一次谐波误差同时垫补的方法如图5所示，其特点是:包括以下步骤：
[0065]
步骤一、通过有限元模型仿真计算出对应的回旋加速器主磁场垫补矩阵a,所述垫补矩阵a为涵盖了所有基于有限元模型计算对各个磁极各个切削点进行切削所引起的等时性误差和一次谐波误差函数关系的垫补矩阵a；
[0066]
补充说明1：
[0067]
①
所述“有限元模型”是指每个切削点为一个模型，所述“涵盖了所有基于有限元模型”是指涵盖了3m*4n个有限元模型，3m是行，4n是列，本实施例将磁场变量的步长和切削点的步长设为同一个步长，因此m和n的取值均为50，如此，所述垫补矩阵a一共有150行200列。
[0068]
②
3m为主磁极总的磁场变化量，假设每个磁极有50个切削点，则有平均场变化量50个，一次谐波分量变化量各50个(βsinφ、βcosφ)，一共100个一次谐波分量变化量；所述平均场变化量是指和没有被切削时的平均场相比的变化量，所述一次谐波分量变化量是指和理想磁场设计相比的变化量，理想磁场设计是没有一次谐波的，因此当一个切削点被切削时，一次谐波变化量或一次谐波分量变化量就是它本身。
[0069]
③
150个磁场变化量是主磁场四个磁极总的平均场变化量50个、以及主磁场四个磁极总的一次谐波分量变化量。虽然有四个磁极，但每个半径处一圈的四个磁极中只有一个磁极在当前切削点被切削，而其他三个磁极在当前半径处都未被切削，所以，四个磁极的磁场变化量和一个磁极的磁场变化量是相同的，均为150个。
[0070]
步骤二、解垫补方程：b＝a
·
x+ε，b为磁场总误差矩阵,该磁场总误差矩阵为实际测量的主磁极在每个切削点半径处的磁场与在该半径处物理设计的磁场进行比较，而得到的总误差矩阵，该总误差矩阵包括每个切削点的平均场变化矩阵和一次谐波变化矩阵β；a为垫补矩阵a，该垫补矩阵a为根据有限元模型计算得到的反应主磁极每个切削点切削所引起磁场变化函数关系的垫补矩阵a；x为切削量矩阵，该切削量矩阵x是指为了消除实际加速器磁场误差、根据已知的b和已知的a计算得到的每个主磁极每个切削点所需切削量的矩阵；ε为方程的一个扰动，它的数学期望值为零，求解方程时认为其为零。
[0071]
进一步地，所述步骤一具体过程如下：
[0072]
1)对主磁极的每个磁极的两条边分别沿着半径划分m个切削点；
[0073]
2)利用有限元模型仿真，对第一个磁极的两条边上m个切削点分别单独切削相同单位厚度的切削量，建立m个加速器模型，此时模型的磁极由于切削后不再具有对称性，会同时引入平均场误差、以及一次谐波误差；对m个切削后的模型分别计算磁场并与模型没有切削时的磁场作比较，就能计算出这m个切削点分别切削单位厚度时所分别引入的平均场误差、以及一次谐波误差；
[0074]
所述切削点、各个切削点或每个切削点均为当前磁极两条边上同半径处的切削点。
[0075]
3)有限元模型计算过程如下：比如，对第一个磁极的第一个切削点进行切削单位厚度后，计算得到一个新的磁场分布，将其与模型未切削时的磁场分布作比较，得到一个平均场误差矩阵、以及得到一个一次谐波误差矩阵；同理，对第二个切削点切削相同单位厚度后计算磁场分布，与未切削时的磁场分布作比较，得到第二个切削点对应的总误差矩阵b，那么对于第一个磁极的m个切削点，计算后，总共得到m个误差矩阵b。
[0076]
这个平均场差值矩阵用表示：
[0077][0078]
表示在第一个切削点半径处的平均场误差值，平均场差值矩阵中总共有m个元素，矩阵括号的右上角标t表示矩阵的转置；
[0079]
由于一次谐波既有大小又有方向，因此需作相位分解，才能将其表示出来。该个一次谐波分解值矩阵用一次谐波矩阵β表示：
[0080]
β＝[β1sinφ1,β2sinφ2,
…
,βmsinφm,β1cosφ1,β2cosφ2,
…
,βmcosφm]
t
ꢀꢀ
(2)
[0081]
表示在第一个切削点处的一次谐波幅值，与表示第一个切削点处的一次谐波相位,也即每一个切削点对应一次谐波误差矩阵的两个元素，角标m为不同半径处，一次谐波误差矩阵总共有2m个元素，矩阵括号的右上角标t表示矩阵的转置；
[0082]
将平均场误差值矩阵和一次谐波误差矩阵耦合，用一个总的误差矩阵b，该总误差矩阵b为第一个磁极第一个半径切削单位厚度所对应的总误差矩阵，b表示为：
[0083][0084]
右上角标t表示矩阵的转置，总误差矩阵b包含有3m个元素
[0085]
4)重复过程2)、过程3)，一直对第二、三、四个磁极的每个切削点分别单独进行切削，每个磁极再建立3m个模型，分别计算磁场，与未切削模型作比较，分别得到各自模型对应的总误差矩阵b，则总共得到四个磁极共4m个切削点分别单独切削后计算所得到4m个总
误差矩阵b，这4m个总误差矩阵b与四个磁极上切削点分别单独切削后的4m个切削量矩阵x一一对应，将被用于求解垫补矩阵a；
[0086]
5)垫补量矩阵用x表示：不同垫补块切削量用表示，其中p指：第p块磁极，m指：垫补切削点的序号，右上角标t表示矩阵的转置，那么四个磁极的总切削量矩阵可以表示为：
[0087][0088]
比如，对于在第一个磁极第一个切削点被切削单位厚度的有限元仿真模型，它的垫补量矩阵x表示为：
[0089]
x＝[1,0,0,
…
]
t
(5)
[0090]
除了第一个元素为单位1外，其余的4m-1个元素都为0，因为该模型中所有切削点，就只有第一个磁极第一个切削点被切除，因此对于上述的4m模型的切削量矩阵x,都能分别表示出来，总共得到4m个切削量矩阵x。
[0091]
6)根据有限元模型计算所得到的4m个垫补量矩阵x与其所对应的4m个总磁场误差矩阵b，分别一一带入下述垫补方程，总共有4m组方程。根据线性代数计算，即可以求解出垫补矩阵a内的所有元素，也即获得了主磁极总的垫补矩阵a：
[0092][0093]
进一步地，所述步骤二具体过程如下：
[0094]
1)建立垫补方程，垫补方程为
[0095]
b＝a
·
x+ε
ꢀꢀ
(7)
[0096]
其中，b为采用磁场测量装置对实际加速器磁场测量得到的总误差矩阵,该磁场总误差矩阵b为实际测量的主磁极每个切削点的平均场误差矩阵与一次谐波误差矩阵耦合后得到的总误差矩阵，a为垫补矩阵a，该垫补矩阵a为根据有限元模型计算得出的垫补矩阵a；x为切削量矩阵，表示实际的加速器为了消除其磁场误差，而在各个磁极各个半径处所需要的切削量，根据垫补方程，在已经知道b和a的基础上求解不同磁场不同半径处的垫补量x；
[0097]
2)测量主磁极每个磁极沿着半径上每个切削点的当前磁场；
[0098]
2)用每个切削点实际测量的当前磁场和理论设计磁场进行差值计算、得到每个切削点实际测量的平均场差值；
[0099]
3)用每个切削点实际测量的一次谐波磁场误差作为该切削点的最终一次谐波磁场误差；
[0100]
4)用实际测量的主磁极每个切削点的平均场差值和每个切削点的一次谐波磁场
误差，组成该主磁极的总的磁场变化矩阵b；
[0101]
5)在已经知道b和a的基础上求解不同磁场不同半径处的垫补量：
[0102]
x＝(a
t
a)-1atbꢀꢀ
(8)
[0103]
此时有：b：3m 1阶矩阵,：4 1阶矩阵，由于：4m，此时方程组为欠定方程组，方程有无穷多的解；其中右上角标t表示矩阵的转置。
[0104]
6)采用基于最小正交化法解法，来处理欠定方程组，在所有的解中，只有一个是最接近原点的，也就是是我们要寻找的解，因此对不同磁极不同半径处的切削垫补量z可以被计算出来。
[0105]
补充说明2：基于最小正交化的求解原理的证明
[0106]
求解欠定方程组原理见论文：[1]程晓良，郑璇，韩渭敏.求解欠定线性方程组稀疏解的算法[j].高校应用数学学报：a辑，2013(2)：14.
[0107]
本实施例不作过多解释，简单证明如下：
[0108]
考虑线性方程组ax＝b，其中，m≤n，rank(a)＝m。方程的数量不大于未知量的数量。因此，该方程组可能存在无数个解。但是，接下来将发现，只存在一个最接近原点的解，即ax＝b的解中范数||x||最小的x。令x
*
表示这个解，可知ax
*
＝b，且对于任意满足az＝b的x，都有||x
*
||≤||x||。也就是说，x
*
是如下优化问题的解：
[0109]
minimize
ꢀꢀꢀꢀꢀꢀ
||x||
[0110]
subject to
ꢀꢀꢀꢀꢀ
ax＝b
[0111]
直接给出结论，此时方程组的最小范数解是：x
*
＝a
t
(aa
t
)-1b[0112]
证明：
[0113]
令上述解为x
*
＝a
t
(aa
t
)-1
b，有
[0114]
||x||2＝||(x-x
*
)+x
*
||2[0115]
＝((x-x
*
)+x
*
)
t
((x-x
*
)+x
*
)
[0116]
＝||x-x
*
||2+||x
*
||2+2x
*t
(x-x
*
)
[0117]
由于
[0118]
x
*t
(x-x
*
)＝[a
t
(aa
t
)-1
b]
t
[x-a
t
(aa
t
)-1
b]
[0119]
＝b
t
(aa
t
)-1
[ax-(aa
t
)(aa
t
)-1
b]
[0120]
＝b
t
(aa
t
)-1
(b-b)
[0121]
＝0
[0122]
由于，对于所有的x≠x
*
，都有||x-x
*
||2＞0成立，因此对于所有x
*
≠x，都有||x||2＞||x
*
||2，也就是：||x||＞||x
*
||，那么显然x
*
是唯一的。
[0123]
证明完毕。
[0124]
显然，本领域的技术人员可以对本发明进行各种改动和变型而不脱离本发明的精神和范围。这样，倘若对本发明的这些修改和变型属于本发明权利要求及其同等技术的范围之内，则本发明也意图包含这些改动和变型在内。

技术特征：
1.一种对回旋加速器平均场与一次谐波误差同时垫补的方法，其特征在于:包括以下步骤：步骤一、通过有限元模型仿真计算出对应的回旋加速器主磁场垫补矩阵a,所述垫补矩阵a为涵盖了所有基于有限元模型计算对各个磁极各个切削点进行切削所引起的等时性误差和一次谐波误差函数关系的垫补矩阵a；步骤二、解垫补方程：b＝a
·
x+ε，b为磁场总误差矩阵,该磁场总误差矩阵为实际测量的主磁极在每个切削点半径处的磁场与在该半径处物理设计的磁场进行比较，而得到的总误差矩阵，该总误差矩阵包括每个切削点的平均场变化矩阵和一次谐波变化矩阵β；a为垫补矩阵a，该垫补矩阵a为根据有限元模型计算得到的反应主磁极每个切削点切削所引起磁场变化函数关系的垫补矩阵a；x为切削量矩阵，该切削量矩阵x是指为了消除实际加速器磁场误差、根据已知的b和已知的a计算得到的每个主磁极每个切削点所需切削量的矩阵；ε为方程的一个扰动，它的数学期望值为零，求解方程时认为其为零；所述切削点、各个切削点或每个切削点均为当前磁极两条边上同半径处的切削点。2.根据权利要求1所述一种对回旋加速器平均场与一次谐波误差同时垫补的方法，其特征在于，所述步骤一具体过程如下：1)对主磁极的每个磁极的两条边分别沿着半径划分m个切削点；2)利用有限元模型仿真，对第一个磁极的两条边上m个切削点分别单独切削相同单位厚度的切削量，建立m个加速器模型，此时模型的磁极由于切削后不再具有对称性，会同时引入平均场误差、以及一次谐波误差；对m个切削后的模型分别计算磁场并与模型没有切削时的磁场作比较，就能计算出这m个切削点分别切削单位厚度时所分别引入的平均场误差、以及一次谐波误差；3)有限元模型计算过程如下：比如，对第一个磁极的第一个切削点进行切削单位厚度后，计算得到一个新的磁场分布，将其与模型未切削时的磁场分布作比较，得到一个平均场误差矩阵以及得到一个一次谐波误差矩阵β；同理，对第二个切削点切削相同单位厚度后计算磁场分布，与未切削时的磁场分布作比较，得到第二个切削点对应的总误差矩阵b，那么对于第一个磁极的m个切削点，计算后，总共得到m个误差矩阵b；这个平均场差值矩阵用表示：表示：表示在第一个切削点半径处的平均场误差值，平均场差值矩阵中总共有m个元素，矩阵括号的右上角标t表示矩阵的转置；由于一次谐波既有大小又有方向，因此需作相位分解，才能将其表示出来；该个一次谐波分解值矩阵用一次谐波矩阵β表示：β＝[β1sinφ1，β2sinφ2，...，β
m
sinφ
m
，β1cosφ1，β2cosφ2，...，β
m
cosφ
m
]
t
ꢀꢀ
(2)β1表示在第一个切削点处的一次谐波幅值，sinφ1与cosφ1表示第一个切削点处的一次谐波相位,也即每一个切削点对应一次谐波误差矩阵的两个元素，角标m为不同半径处，一次谐波误差矩阵β总共有2m个元素，矩阵括号的右上角标t表示矩阵的转置；将平均场误差值矩阵和一次谐波误差矩阵β耦合，用一个总的误差矩阵b，该总误差矩
阵b为第一个磁极第一个半径切削单位厚度所对应的总误差矩阵，b表示为：右上角标t表示矩阵的转置，总误差矩阵b包含有3m个元素4)重复过程2)、过程3)，一直对第二、三、四个磁极的每个切削点分别单独进行切削，三个磁极一共再建立3m个模型，分别计算磁场，与未切削模型作比较，分别得到各自模型对应的总误差矩阵b，则总共得到四个磁极共4m个切削点分别单独切削后计算所得到4m个总误差矩阵b，这4m个总误差矩阵b与四个磁极上切削点分别单独切削后的4m个切削量矩阵x一一对应，将被用于求解垫补矩阵a；5)垫补量矩阵用x表示：不同垫补块切削量用表示，其中p指：第p块磁极，m指：垫补切削点的序号，右上角标t表示矩阵的转置，那么四个磁极的总切削量矩阵可以表示为：比如，对于在第一个磁极第一个切削点被切削单位厚度的有限元仿真模型，它的垫补量矩阵x表示为：x＝[1，0，0，...]
t (5)除了第一个元素为单位1外，其余的4m-1个元素都为0，因为该模型中所有切削点，就只有第一个磁极第一个切削点被切除，因此对于上述的4m模型的切削量矩阵x,都能分别表示出来，总共得到4m个切削量矩阵x；6)根据有限元模型计算所得到的4m个垫补量矩阵x与其所对应的4m个总磁场误差矩阵b，分别一一带入下述垫补方程，总共有4m组方程；根据线性代数计算，即可以求解出垫补矩阵a内的所有元素，也即获得了主磁极总的垫补矩阵a：3.根据权利要求1所述一种对回旋加速器平均场与一次谐波误差同时垫补的方法，其特征在于，所述步骤二具体过程如下：1)建立垫补方程，垫补方程为b＝a
·
x+ε (7)其中，b为采用磁场测量装置对实际加速器磁场测量得到的总误差矩阵,该磁场总误差矩阵b为实际测量的主磁极每个切削点的平均场误差矩阵与一次谐波误差矩阵耦合后得到的总误差矩阵，a为垫补矩阵a，该垫补矩阵a为根据有限元模型计算得出的垫补矩阵a；x为切削量矩阵，表示实际的加速器为了消除其磁场误差，而在各个磁极各个半径处所需要的
切削量，根据垫补方程，在已经知道b和a的基础上求解不同磁场不同半径处的垫补量x；2)测量主磁极每个磁极沿着半径上每个切削点的当前磁场；2)用每个切削点实际测量的当前磁场和理论设计磁场进行差值计算、得到每个切削点实际测量的平均场差值；3)用每个切削点实际测量的一次谐波磁场误差作为该切削点的最终一次谐波磁场误差；4)用实际测量的主磁极每个切削点的平均场差值和每个切削点的一次谐波磁场误差，组成该主磁极的总的磁场变化矩阵b；5)在已经知道b和a的基础上求解不同磁场不同半径处的垫补量：x＝(a
t
a)-1
a
t
b
ꢀꢀꢀ
(8)此时有：b：3m
×
1阶矩阵,x：4n
×
1阶矩阵，由于：4n＞3m，此时方程组为欠定方程组，方程有无穷多的解；其中右上角标t表示矩阵的转置；6)采用基于最小正交化法解法，来处理欠定方程组，在所有的解中，只有一个是最接近原点的，也就是是我们要寻找的解，因此对不同磁极不同半径处的切削垫补量x可以被计算出来。

技术总结
本发明提出了一种对回旋加速器平均场与一次谐波误差同时垫补的方法，包括：通过有限元模型仿真计算出回旋加速器主磁场垫补矩阵A,该A为涵盖了所有基于有限元模型计算对各个磁极各个切削点进行切削所引起的等时性误差和一次谐波误差函数关系的垫补矩阵A；解垫补方程：，该总误差矩阵b包括每个切削点的平均场变化矩阵和一次谐波变化矩阵β；该垫补矩阵A为根据有限元模型计算得到的反应主磁极每个切削点切削所引起磁场变化函数关系的垫补矩阵A；X为切削量矩阵，根据已知的b和已知的A计算得到的每个主磁极每个切削点所需切削量的矩阵；本发明实现了每个切削点同时垫补等时性磁场误差和一次谐波磁场误差，有效提高了垫补效率。有效提高了垫补效率。有效提高了垫补效率。


技术研发人员：陆锦荣 安世忠 边天剑 陈忻禹 王飞 凌丽
受保护的技术使用者：中国原子能科学研究院
技术研发日：2023.05.15
技术公布日：2023/8/13